Produit scalaire

par Rudolf Bkouche

Le produit scalaire apparaît dans le calcul des quaternions. De façon précise, soient u et v deux quaternions purs, uv leur produit, celui-ci se décompose en la somme d'un scalaire et d'un quaternion pur, la composante scalaire n'est autre que l'opposé du produit scalaire des vecteurs u et v et la composante quaternion pur n'est autre que le produit vectoriel des vecteurs u et v.

Le calcul des quaternions sera utilisé en physique par Hamilton et ses élèves.

Grassmann dans son ouvrage Ausdehnungslehre introduit la notion de produit extérieur puis définit ce qu'il appelle un "produit descendu" (dans la traduction de Flament) dont le produit scalaire est un cas particulier.

Dans son Calcolo Geometrico, Peano reprend et précise la construction de Grassman. Un bivecteur est défini comme le produit de deux vecteurs, ce produit étant linéaire par rapport à chacun des facteurs et antisymétrique. Une base étant donnée dans un plan, tout bivecteur défini par deux vecteurs du plan est un multiple du bivecteur défini par une base de ce plan, ce qui permet, une base étant donnée, d'associer à tout bivecteur un nombre (le déterminant des composantes, dans la base donnée, des vecteurs définissant le bivecteur).

Peano associe alors à tout vecteur U d'un plan le vecteur ^U qui est le vecteur de même grandeur perpendiculaire à U et tel que le bivecteur U ^U soit positif, ce qui permet de définir le produit U ^V de deux vecteurs U et V. L'auteur montre alors la relation

U ^ V = grU.grV.cos(U,V)

Il étend ensuite cette définition à l'espace.

Dans leurs Eléments de Calcul Vectoriel Burali-Forti et Marcolongo définissent le produit intérieur ou produit scalaire de deux vecteurs a et b comme l'expression

a x b = moda.modb.cos(a,b)

ou moda représente le module de a.

Cette définition sera reprise par tous les ouvrages classiques de calcul vectoriel. Dans son ouvrage Raum, Zeit, Materie (Space, Time, Matter), Hermann Weyl explique que l'on peut définir le produit scalaire comme une forme bilinéaire symétrique définie positive dans le cas de la géométrie euclidienne. On trouve une définition proche dans les Leçons de Géométrie Vectorielle de Bouligand, ouvrage qui s'appuie sur l'ouvrage cité de Weyl.

Dans la construction "algèbre linéaire" de la géométrie, on renverse l'ordre. Le produit scalaire est défini comme une forme bilinéaire symétrique, défini positif dans le cas euclidien, et, du point de vue structural, la géométrie devient l'étude des invariants du groupe des transformations linéaires qui préservent le produit scalaire. On récupère ainsi la géométrie élémentaire comme le montre par exemple l'ouvrage de Michelle Audin.

Notons que la présentation "algèbre linéaire" de la géométrie permet de donner une représentation géométrique de divers domaines des mathématiques et des sciences physiques où interviennent des espaces vectoriels munis d'une forme bilinéaire symétrique, ou plus généralement hermitienne, (analyse fonctionnelle, probabilités, mécanique quantique, etc), mais ceci est une autre histoire, celle de la géométrisation ou, pour reprendre une expression de Jean Dieudonné, la domination universelle de la géométrie.

Bibliographie

Michelle Audin, Géométrie (De la licence à l'agrégation), Belin, Paris 1999

Georges Bouligand, Leçons de Géométrie vectorielle (préliminaires à l'étude de la théorie d'Einstein), troisième édition revue et augmentée, Vuibert, Paris 1949

C. Burali-Forti et R. Marcolongo, Eléments de Calcul Vectoriel, traduit de l'italien par S. Lattes, Hermann, Pairs 1910. Notons que l'ouvrage comprend des notes historiques.

Michael Crowe, A History of Vector Analysis (1967), Dover, New York 1985

Jean Dieudonné, The universal domination of geometry , International Congress of Mathematical Edu­cation IV, Berkeley 1980

H.G. Grassmann, La Science de la Grandeur Extensive (1844), traduction et préface de D. Flament et B. Bekemeier, Blanchard, Paris 1994

Sir William Rowan Hamilton, Lectures on Quaternions, Dublin 1853

Sir William Rowan Hamilton, Elements of Quaternions, London 1853

G. Peano, Calcolo Geometrico, Fratelli Bocca Editori, Roma-Firenze 1888

P.G. Tait, Elementary Treatise of Quaternions, second edition, Oxford 1873

Hermann Weyl, Space, Time, Matter (1918), translated from the German by Henry L. Brose, Dover Publica­tions, Inc., New York 1952