La "définition" géométrique de la force
Publié le 17/03/2010


Christophe Schmit



D'Alembert refuse de faire d'une formule du type φdt= ±du, avec du l'élément de vitesse acquis/perdu pendant l'instant , l'expression  de la "force accélératrice" (ici, φ ) ce qui viendrait conférer une réalité à ce concept. Il refuse d'entrer dans le débat concernant le statut de la formule mais ne voit dans l'expression du / dt  qu'une définition de la force, définition obtenue par le seul examen des propriétés géométriques d'une courbe décrite par un corps et par le recours aux infiniment petits, soit ne requerrant rien d'autre qu'une approche strictement mathématique du mouvement.

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Soit la courbe ADE, avec BD et CE les espaces parcourus pendant des durées AB et AC (Cf. Figure 4 ci-dessus). Si le corps continuait son mouvement avec sa vitesse en D, il parcourait pn et PN pendant deux temps infiniment proches Bc, BC ; mais sous l'action d'une "cause étrangère", il parcourt réellement les espaces ne et NE pendant ces durées. En supposant les temps "infiniment petits", D'Alembert assimile l'arc DE à l'arc de cercle du même nom sur la Figure 5 (ci-dessus), Dn et DN étant des "portions infiniment petites" de la tangente au cercle en D. En traçant NQ et nq parallèles et coupant le cercle en E, Q et e, q NE × NQ = DN² et ne × nq = dn²  (propriété géométrique du cercle). NQ et nq "doivent être regardées comme égales" et, ainsi, NE / ne = DN² / Dn² . Or DN / Dn = BC / Bc, il suit NE / ne = BC² / Bc².


    Ainsi, "les espaces parcourus par un Corps en vertu d’une puissance accélératrice quelconque, sont au commencement du Mouvement comme les quarrés des tems". D'Alembert pose φ = NE / BC² , une "quantité quelconque" variable ou non en fonction du temps, mais supposée constante si celui-ci varie peu ; il s'agit de la "puissance accélératrice". En prenant dde = NE, dt = BC; il suit  φdt² = ± dde  (1) (le signe + (resp. -) correspondant à une accélération (resp. décélération)). Avec u = de / dt la vitesse instantanée du corps et en faisant dt constante, on obtient du.dt = dde soit avec (1), φdt= ±du, relation qui définit la "force accélératrice".

 

 
 
 
 
 
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