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Un groupe $G$ est un ensemble muni d'une opération qui à deux éléments de $G$ associe un élément de $G$ (on appelle cela une loi de composition interne)1, laquelle doit vérifier (en notant cette opération $*$) : pour tout $x$, $y$ et $z$ dans $G$, $$(x*y)*z = x*(y*z) $$ on dit que l'opération est associative (c'est-à-dire que l'ordre dans lequel on effectue une série d'opérations n'importe pas) ; Il existe un élément $e$ qui, pour tout élément $x$ de $G$ vérifie $$ x *e =e *x =x $$ on appelle cet élément l'élément neutre ; pour tout élément $x$ de $G$, il existe un élément $y$ de $G$ vérifiant $$ x*y =y*x =e  $$ $y$ est alors appelé l'inverse de $x$. 1 Par exemple sur $G= \mathbb{Z}$, l'opération de multiplication $\times$ va consister à associer à $2\times3$ l'élément $6$ de $\mathbb{Z}$ (c'est bien cette association que l'on implémente dans le cerveau - sans avoir besoin de calculer quoique ce soit - lorsque l'on apprend par coeur les tables de multiplication!); on peut bien sûr définir soi-même une opération $*$ en décidant, par exemple, que pour tout entier $x$ et $y$ on associe $x * y$ à l'entier $3$...