Omid Amini : autour des travaux de June Huh

Mise en perspective thématique et historique autour de la médaille Fields de June Huh : un théorème et sa preuve sur la géométrie algébrique combinatoire, accessibles au niveau CPGE

Raphaël Cerf : autour des travaux de Hugo Duminil-Copin

Nous présentons la nouvelle preuve de la décroissance exponentielle due à Hugo Duminil-Copin et Vincent Tassion.

Dans le premier exposé, nous introduisons le modèle de la percolation et nous expliquons le contexte et l'importance du résultat. Nous donnons toutes les définitions de base nécessaires pour comprendre le modèle et décrire le point critique et la transition de phase. Nous terminons par l'énoncé du résultat de décroissance exponentielle pour le régime sous-critique.

Dans le second exposé, nous faisons toute la preuve de Hugo Duminil-Copin et Vincent Tassion en détail.

Aucun prérequis n'est nécessaire pour comprendre l'exposé.

David Gontier : autour des travaux de Maryna Viazovska

Dans cet exposé, en deux parties, nous faisons le point sur ce qui est connu, conjecturé, et ouvert, pour le problème d’empilement de sphères.

Dans la première partie, nous rappelons le problème d'empilement de sphères et son histoire. Nous présentons la preuve de Chang et Wang de 2010 pour montrer que le réseau triangulaire est optimal en dimension 2. Nous parlons de quelques conjectures récentes sur les grandes dimensions.

Dans la seconde partie de l'exposé, nous faisons des rappels sur la transformée de Fourier, présentons la conjecture de Cohn-Elkies, et esquissons les idées de preuves apportées par Maryna Viazovska pour la dimension 8. Nous expliquons en particulier pourquoi le réseau E8 est si spécial.

Cédric Pilatte : autour des travaux de James Maynard

En 2022, James Maynard a obtenu la Médaille Fields pour ses travaux exceptionnels sur la distribution des nombres premiers et l'approximation diophantienne.

Dans le premier exposé, nous expliquons ses résultats les plus importants dans leur contexte historique. Nous commençons par la question la plus fondamentale sur la distribution des nombres premiers: combien y a-t-il de nombres premiers entre 1 et x, en fonction de x? Une réponse partielle est apportée par le théorème des nombres premiers, et une réponse plus précise par l'hypothèse de Riemann. Nous abordons alors les aspects plus fins de la distribution des nombres premiers et présentons les résultats de Maynard sur les petits et grands écarts entre les nombres premiers. Nous passons ensuite à la question de l'approximation des nombres irrationnels par des rationnels et expliquons la conjecture de Duffin-Shaeffer, résolue par Maynard et Koukoulopoulos. Enfin, nous mentionnons une panoplie d'autres résultats remarquables obtenus par Maynard en théorie des nombres.

Le deuxième exposé est consacré à la méthode du cercle de Hardy-Littlewood, et son utilisation pour démontrer l'existence d'une infinité de nombres premiers sans chiffre c en base b, pour b un nombre premier suffisamment grand. Nous ne présentons que certaines idées de preuves, la stratégie classique par l'analyse de Fourier discrète et certaines caractéristiques spécifiques à ce problème. Ainsi, aucune familiarité avec la théorie analytique des nombres n'est requise.