Conférence donnée dans le cadre du cycle « Une question, un chercheur » destiné aux étudiant(e)s du supérieur.

Des triplets pythagoriciens au théorème de Fermat-Wiles, la recherche des solutions entières des équations polynomiales est une question centrale en arithmétique depuis des millénaires. Si les équations de degré 1 se traitent grâce à l'algorithme d'Euclide, le cas du degré 2 contient les questions classiques suivantes.

• Peut-on déterminer tous les triangles rectangles à côtés entiers ?
• Quels sont les nombres entiers qui sont sommes de deux, trois ou quatre carrés d'entiers ?
• Pour savoir si une équation de degré 2 a une solution en nombres entiers, suffit-il de résoudre le même problème modulo certains entiers bien choisis ?
• Existe-t-il un algorithme permettant de résoudre ces problèmes en général ?

Plusieurs approches seront présentées, utilisant, entre autres, la géométrie et les nombres p-adiques (des nombres avec une infinité de chiffres *avant* la virgule). S'il reste du temps, il sera abordé également comment, à l'inverse, de telles équations arithmétiques peuvent éclairer un problème géométrique amusant lié à un célèbre jeu de société.

Organisée par : l'Union des Professeurs de Classes Préparatoires Scientifiques (UPS), la Société Mathématique de France (SMF), la Société Française de Physique (SFP), l'Institut Henri Poincaré (IHP) et l'Institut d'Astrophysique de Paris (IAP).