Cette série de trois articles présente quelques paradoxes logiques importants. Dans ce troisième volet, nous allons voir un paradoxe qui ne semble se laisser formaliser (et résoudre) correctement que dans une logique « modale ».
On raconte1 que pendant la Seconde Guerre mondiale, la radio suédoise a diffusé le message suivant :
Un exercice de défense civile aura lieu cette semaine. Pour qu'il soit certain que les unités de défense civile soient convenablement préparées, personne ne saura à l'avance quel jour l'exercice aura lieu.
Un mathématicien, Lennart Ekbom, a décelé un paradoxe dans cette annonce. Mais voyons cela sur une variante : l'interrogation surprise.
Énoncé
Un professeur annonce à ses étudiants : « Il y aura une interrogation la semaine prochaine. Ce sera une interrogation surprise : vous ne saurez pas à l'avance quel jour elle aura lieu. » Un étudiant rassure ses camarades : « C'est du bluff ! En effet, supposez que jeudi soir l'interrogation n'ait pas eu lieu : alors nous saurons à l'avance qu'elle aura lieu vendredi, contrairement à ce qu'a dit le professeur. Donc elle n'aura pas lieu vendredi. Mais supposez que le mercredi soir elle n'ait pas eu lieu : alors, puisqu'il ne reste plus que jeudi, nous saurons à l'avance qu'elle aura lieu jeudi : là encore, c'est contraire à ce qu'a dit le professeur. L'interrogation ne peut donc avoir lieu ni vendredi ni jeudi ; et par le même raisonnement, on voit qu'elle ne peut avoir lieu non plus mercredi, ni mardi, ni lundi : bref, elle n'aura pas lieu ! » Les étudiants sont un peu rassurés par ce raisonnement. Le lundi, pas d'interrogation ; le mardi non plus, le mercredi non plus : les étudiants sont de plus en plus rassurés. Et le jeudi : « Interrogation ! » Le professeur avait dit vrai : l'interrogation a bien eu lieu et personne n'avait pu en prévoir le jour. Alors où est l'erreur dans le raisonnement de l'étudiant ?
• Tentative de formalisation/solution : embarras de la logique classique. Curieusement, aucune solution ne fait consensus2. Il faudrait expliquer précisément où et en quoi pèche le raisonnement de l'étudiant. Car il semble démontrer correctement que l'annonce du professeur est contradictoire, et pourtant elle ne l'est pas puisqu'elle se réalise !
On peut essayer de formaliser un peu. Supposons pour alléger les notations qu'il n'y ait que deux jours de cours la semaine prochaine. Notons $I_1$ pour « l'interrogation a lieu le jour 1 », $I_2$ pour « l'interrogation a lieu le jour 2 », et soit $A$ l'annonce du professeur. Si on traduit « vous ne saurez pas à l'avance quel jour elle aura lieu » par « ce que je suis en train de vous dire3 ne vous permet pas de déduire avant l'épreuve le jour où elle aura lieu, même en tenant compte chaque jour du fait qu'elle n'a pas encore eu lieu » et si on interprète « ne vous permet pas de déduire » par « n'implique pas » au sens du connecteur $\implies$, alors on peut écrire : $$\begin{aligned} A \overset{\textrm{déf}}{=} & \big[I_1 \textrm{ ET }\, \textrm{NON }(A\implies I_1)\big] & & \\ & \qquad \qquad \textrm{ OU } & & \!\!\! (***) \\ &\big[(\textrm{NON } I_1) \textrm{ ET } I_2 \textrm{ ET } \textrm{NON }\big((A\,\textrm{ ET } (\textrm{NON } I_1)) \implies I_2\big)\big] & & \end{aligned}$$ c'est-à-dire que l'annonce du professeur serait : « l'interrogation a lieu le jour 1 et la présente annonce n'implique pas qu'elle a lieu le jour 1, ou l'interrogation n'a pas lieu le jour 1 et elle a lieu le jour 2 et la conjonction de la présente annonce et du fait que l'interrogation n'a pas lieu le jour 1 n'implique pas que l'interrogation a lieu le jour 2 » — phrase manifestement absurde qui par deux fois dit une chose et son contraire. Formellement, comme $\textrm{NON }(P\implies Q)$ est logiquement égal à $P\textrm{ ET } (\textrm{NON } Q)$, l'énoncé à droite du signe $\overset{\textrm{déf}}{=}$ est $$\begin{aligned} &\big[I_1 \textrm{ ET } A\,\textrm{ ET } (\textrm{NON } I_1)\big] \\ & \qquad \qquad \textrm{ OU } \\ & \big[(\textrm{NON } I_1) \textrm{ ET } I_2 \textrm{ ET } A\,\textrm{ ET } (\textrm{NON } I_1) \textrm{ ET } (\textrm{NON } I_2)\big] \end{aligned}$$ où d'un côté de l'alternative on voit $I_1 \textrm{ ET } (\textrm{NON } I_1)$ et de l'autre $I_2 \textrm{ ET } (\textrm{NON } I_2)$. Pourtant, comme on l'a dit, la véritable affirmation du professeur n'est pas contradictoire puisqu'elle se réalise ! La formalisation $(***)$ n'est donc évidemment pas la bonne. On peut essayer de formaliser plus finement (en interprétant autrement le « vous ne saurez pas à l'avance »), on peut même résoudre le problème de l'autoréférence4, mais la proposition $A$ s'obstine à rester contradictoire : sur la proposition $A$ formalisée l'argument de l'étudiant est correct, c'est la formalisation elle-même qui ne l'est pas !
• Passage en logique épistémique, solution du paradoxe. Puisque la logique classique ne semble pas permettre une formalisation fidèle et une résolution du paradoxe, on a cherché à le faire dans une logique enrichie, la logique épistémique, qui possède une « modalité » $S$ représentant le savoir ; ce qui est assez naturel, étant donné que l'énoncé du professeur contient le mot « saurez ». Reprenons le paradoxe, mais pour simplifier encore un peu l'exposé remplaçons la semaine prochaine par le jour prochain. Notons $I$ pour « il y aura une interrogation demain » , $S(I)$ pour « vous savez qu'il y aura une interrogation demain » ; l'annonce du professeur devient : $$A=I\textrm{ ET } (\textrm{NON } S(I)).$$ Déjà, il n'y a plus de cercle vicieux. Le raisonnement de l'étudiant consiste alors à dire : « de $A$ nous tirons $I$, donc nous savons que $I$, autrement dit : $S(I)$ ; mais de $A$ nous tirons aussi $\textrm{NON } S(I)$ : l'annonce du professeur conduit à une contradiction : $S(I)\textrm{ ET } (\textrm{NON } S(I))$ ; donc elle est fausse. » Et là, l'erreur de raisonnement est manifeste : il est vrai que de $A$ nous tirons $I$, mais pour en déduire que nous savons que $I$ est vraie il faudrait savoir que $A$ est vraie. Autrement dit, c'est sous l'hypothèse $S(A)$ qu'on peut déduire $S(I)$ et obtenir la contradiction $S(I)\textrm{ ET } (\textrm{NON } S(I))$ : mais cela constitue une preuve par l'absurde de $\textrm{NON } S(A)$. Ainsi le raisonnement de l'étudiant ne prouve pas que $A$ est fausse, il prouve que $S(A)$ est fausse. La source du paradoxe, dans la logique épistémique, est donc une confusion entre $A$ et $S(A)$. Cette solution du paradoxe est conforme à l'intuition : le raisonnement de l'étudiant a semé le doute sur l'annonce du professeur et la conclusion logique à en tirer est que lui et ses camarades ne peuvent pas savoir (avant l'interrogation) si $A$ est vraie. Le paradoxe est donc résolu en logique épistémique.
