Au début du XXème siècle, le mathématicien Soichi Kakeya tente de résoudre la question suivante : quelle est l'aire minimale $\mathcal{A}$ telle que l'on puisse retourner une aiguille dans un domaine d'aire égale à $\mathcal{A}$ ? Cette question, d'apparence simple, est résolue dans le livre En Cheminant avec Kakeya, Voyage au cœur des mathématiques. Pour cela, les auteurs introduisent de nombreux concepts fondamentaux en mathématiques tout en donnant l'intuition nécessaire à leur compréhension. Ils entendent non seulement résoudre l'intrigant problème de Kakeya, mais aussi démontrer que la résolution de ce problème en apparence anecdotique mobilise des notions complexes issues de champs mathématiques différents tels que l'analyse ou la géométrie.

On a là un exemple caractéristique de la pratique mathématique où une simple question peut mener à l'utilisation de nombreuses théories de prime abord indépendantes. La force de ce livre est de rendre visible la démarche du mathématicien qui, pour avoir une intuition du résultat, explore par tâtonnement certains exemples d'abord accessibles puis plus sophistiqués. L'objectif étant de répondre à la question : ce résultat est-il vrai ou faux ? S'il est faux, il faut chercher un contre-exemple. S'il est vrai, il en faut une démonstration : cette dernière sera donnée dans En Cheminant avec Kakeya par la méthode de Besicovitch.

Nous proposons maintenant de décortiquer la démarche mathématique adoptée par Vincent Borrelli et Jean-Luc Rullière.

Les premiers chapitres analysent une batterie d'exemples visant à deviner l'aire minimale balayée par l'aiguille. La première figure à laquelle on pense est le disque ayant pour diamètre la longueur de l'aiguille, fixée à 1 : l'aire $\mathcal{A}$ vaut alors $\pi/4$. Cette figure a pour avantage — et c'est bien pratique lorsque l'on souhaite retourner rapidement un canapé — de se composer d'un seul mouvement continu : la rotation. Cependant, il semble plus économe de décomposer cette rotation en plusieurs sous-rotations dont la somme des angles vaut 180 degrés (voir par exemple la figure 1 pour un triangle dit de Reuleaux).

Décomposition de la rotation de l'aiguille en trois rotations d'angle 60 degrés (p.15).

Ce sont des exemples de ce type qui sont traités dans En cheminant avec Kakeya : certaines figures triangulaires, étoilées ou encore la deltoïde font l'objet de nombreux développements dont nous présentons une synthèse sur la figure 2, issue de l'ouvrage de V. Borrelli et J.-L. Rullière. Il est intéressant de noter que les éléments de la figure 2 se classent en deux types : ceux dont l'aire verte correspond exactement à l'aire balayée par l'aiguille (c'est par exemple le cas des figures 1, 2 et 8) et ceux dont l'aire verte est strictement supérieure à l'aire balayée par l'aiguille.

Quelques exemples audacieux étudiés par V. Borrelli et J.-L. Rullière, extrait de la p. 108. Le détail du mouvement précis de l'aiguille dans les figures d'aire verte se trouve dans En cheminant avec Kakeya.

Pourquoi distinguer ces deux types de figures ? Tout simplement car, s'il est possible de trouver géométriquement des configurations économes en aire, il est parfois beaucoup plus difficile de calculer l'aire exacte de ces mêmes configurations. On est alors contraint de grossir légèrement la figure et de la transformer en une figure dont l'aire peut être calculée exactement. C'est notamment le cas de l'exemple 6 de la figure 2. Dans tous les cas de la figure 2, sauf peut-être les tous premiers, il est nécessaire pour le calcul d'aire de disposer d'outils plus avancés dans le domaine de l'étude de courbes : ces derniers seront donnés par la théorie du calcul différentiel.

Illustration du calcul intégral.

Ils permettront notamment de répondre aux questions suivantes : comment déterminer l'aire sous une courbe générale, par exemple celle de la figure 3 ? Connaissant le contour d'une surface, peut-on déterminer son aire ? Parmi une infinité de figures particulières dont on connaît l'aire, laquelle est optimale ? La première question sera traitée par le calcul intégral (chapitre 3), la seconde par la formule de Stokes (chapitre 4) et la troisième par la dérivation (chapitre 2).

Les exemples développés dans la première partie du livre montrent qu'il semble possible, par des manipulations astucieuses, de diminuer l'aire balayée par l'aiguille. Les auteurs entreprennent alors de démontrer que l'aire minimale est zéro, donnant ainsi la réponse au problème initial. En termes mathématiques, il faut comprendre que pour toute aire $\mathcal{A} > 0$ — que l'on peut prendre aussi petite que l'on veut, par exemple égale à la surface caractéristique d'un atome — on peut trouver une suite d'opérations balayant une aire $\mathcal{A}$ et retournant l'aiguille. Ces opérations sont données par la méthode de Besicovitch. Contrairement aux exemples précédents, qui nécessitent l'introduction d'outils analytiques, cette méthode peut se comprendre à l'aide d'arguments géométriques élémentaires détaillés sur la figure 4.

Illustration de la méthode de Besicovitch. L'aiguille a, grâce à cette manipulation, effectué une rotation de 45 degrés. L'idée principale de cette transformation est l'association des étapes 2 et 3. En imaginant faire ce procédé à l'infini, il est possible de déplacer l'aiguille sur une parallèle à sa position initiale en utilisant peu d'aire. La preuve de Besicovitch consiste en l'utilisation de ces quatre étapes pour des rotations d'angles très petits afin de maximiser les recouvrements.

L'ouvrage s'achève sur une ouverture vers les objets d'aire nulle. Tout le monde connaît de tels objets : on peut par exemple penser à une droite tracée dans le plan. La différence entre une droite et une surface est sa dimension, la première étant de dimension 1 alors que la seconde est de dimension 2. On pourrait penser que les objets du plan se répartissent selon leur dimension, la dimension 2 correspondant aux objets d'aire non nulle. Cependant, la situation est plus complexe. Que penser par exemple d'un gribouillis d'enfant remplissant densément, mais pas totalement, un carré ? Eh bien, ce dernier peut être caractérisé par un nombre compris entre 1 et 2 : c'est sa dimension fractale. La dimension fractale mesure la façon dont la figure étudiée occupe l'espace. Une introduction en est donnée en guise d'ouverture au problème de Kakeya.

Nous avons choisi de limiter la présentation des résultats mathématiques à la question de Kakeya mais l'intérêt de cet ouvrage dépasse la résolution de ce seul problème. En effet, il faut d'abord souligner l'effort de contextualisation historique qui a été fait par les auteurs ainsi que les nombreuses ouvertures vers des grandes questions des mathématiques (par exemple le fameux problème de la quadrature du cercle dès l'introduction). Ensuite, ce livre est l'occasion d'avoir une présentation intuitive de notions telles que la dérivation, souvent présentées avec un formalisme pouvant compliquer l'assimilation. Ainsi, un.e élève motivé.e en classe de Terminale tirerait sans aucun doute profit de la lecture de En cheminant avec Kakeya. Enfin, la forme du discours est réussie et se rapproche, selon moi, du cours que tout étudiant aurait plaisir à suivre, le langage mathématique en moins. Chaque chapitre se compose d'une introduction historique puis d'une présentation des techniques, d'exemples associés et enfin d'une application plus longue au problème de Kakeya. Pour toutes ces raisons, on ne saurait que recommander la lecture du livre de V. Borrelli et J.-L. Rullière. 

Retrouvez le livre ici : En cheminant avec Kakeya