Spécial Prod : de l'autre côté du miroir
Il faut un tableau pour faire des mathématiques car les mathématiques sont faites d'images et de dessins. Mais quand leur objet est lui-même un tableau, en l'occurrence une (ou plusieurs) matrice(s), il peut devenir nécessaire d'animer ce qui leur sert de support. C'est grâce à cette liberté supplémentaire que nous illustrerons sans grand calcul la propriété ci-dessous.
Proposition
La transposée d'un produit de matrices est le produit de leurs transposées, mais — attention — prises dans l'ordre inverse. Ainsi, \[(A B)^T = B^T A^T\] et par extension, pour tout entier $k\geq 2$ \[(A_1 A_2 \cdots A_k)^T = A_k^T A_{k-1}^T \cdots A_1^T\] moyennant la compatibilité des formats des matrices $A_1$, $A_2$,..., $A_k$.
Bien connues des étudiants des classes préparatoires 1 et des candidats au CAPES 2, ses démonstrations « classiques » reposent, au choix, sur une manipulation de sommes assez simple mais austère 3, ou sur des arguments de dualité relativement pointus 4.
Remarquons plutôt qu'on symétrise une matrice carrée en la faisant tourner sur elle-même par rapport à sa diagonale. Et plus généralement qu'on symétrise une matrice en la faisant tourner par rapport à n'importe quel axe incliné de $45^{\circ}$ (vers le bas). L'effet obtenu après cette pirouette est bien d'intervertir lignes et colonnes, on le constaterait aisément en réalisant l'expérience avec un papier calque.
Examinons maintenant le coefficient $(i,j)$ du produit $A B$. Il résulte du « croisement » des ligne $i$ de $A$ et colonne $j$ de $B$. Faisons pivoter l'ensemble, qui va décrire une vrille. La matrice $A$, en bas à gauche, glisse en haut à droite tout en se transposant. La matrice $B$, en haut à droite, glisse en bas à gauche tout en se transposant. Le produit $A B$ au centre demeure au centre tout en se transposant. Il se passe comme si son coefficient $(j,i)$ (qui s'échange avec le coefficient $(i,j)$ d'avant) résultait du « croisement » de la ligne $j$ de $B^T$ (l'ancienne colonne $j$ de $B$, désormais couchée) et de la colonne $i$ de $A^T$ (l'ancienne ligne $i$ de $A$, désormais redressée) car la multiplication entre les réels qu'on apparie est commutative. Digne d'une saga hollywoodienne 5, l'animation Javascript/WebGL ci-après, conçue pour la circonstance, est des plus convaincantes. Enjoy...
