CultureMath : Ressentez-vous des émotions lorsque vous faites des mathématiques ? Si oui, quel genre d'émotions ? Dans quelles situations ?

T. Tao : Je ne dirais pas que le processus de faire des mathématiques est une expérience émotionnelle pour moi - cela demande beaucoup de concentration et de focus, et donc on pense surtout aux mathématiques et pas à soi-même ou à ses sentiments. Mais le résultat d'un long effort pour résoudre un problème de mathématiques avec un stylo et du papier (ou un tableau noir) peut déclencher des sentiments - de l'euphorie ou de la satisfaction si le problème est résolu, de la déception ou de la frustration lorsque les choses ne se déroulent pas comme prévu, et ainsi de suite.

CultureMath : Que pensez-vous de l'imagination en mathématiques ?

T. Tao : On a besoin d'imagination tempérée par l'expérience, la discipline et la rigueur. Un mathématicien qui est trop peu imaginatif ne pourra prouver que des résultats similaires à ceux qui ont déjà été prouvés auparavant. Mais un mathématicien dont l'imagination est trop libre viendra avec 100 idées folles, mais perdra beaucoup trop de temps à poursuivre les 90 idées qui ne mèneront nulle part, ignorera les leçons des 8 idées qui ont un certain succès partiel mais qui échouent encore, et abandonnera prématurément les deux idées qui résoudront effectivement le problème. Un bon équilibre est d'avoir une collaboration entre des mathématiciens qui jettent des idées avec enthousiasme et des mathématiciens qui évaluent avec scepticisme ces idées jusqu'à ce qu'ils trouvent celles qui ont réellement du potentiel.

CultureMath : Pensez-vous que tout coder enlève l'imagination en mathématiques ?

T. Tao : Les ordinateurs sont un outil qui peut soit améliorer, soit inhiber les compétences de chacun. Par exemple, résoudre ses devoirs en les tapant aveuglément dans un outil logiciel sans réfléchir ne va pas améliorer ses compétences en mathématiques. Cependant, on peut utiliser des calculs numériques pour tester son intuition ou avoir une idée de la faisabilité d'une approche possible à un problème. Récemment, j'ai expérimenté en demandant à des outils d'IA comme ChatGPT de suggérer des idées farfelues pour résoudre un problème mathématique. Les réponses sont souvent absurdes, mais elles peuvent parfois me pousser à réfléchir sur le problème d'une manière que je n'aurais pas envisagée sans cette incitation.

CultureMath : Vous souvenez-vous d'un de vos premiers exercices de mathématiques?

T. Tao : Je me souviens que j'aimais remplir des cahiers d'exercices de problèmes arithmétiques quand j'étais petit enfant; mes parents me donnaient un tel livre quand j'étais trop agité.

CultureMath : Si quelqu'un n'aime pas les mathématiques, quelles exercices recommanderiez-vous pour montrer la beauté des mathématiques?

T. Tao : Hmm, je pense que c'est souvent contreproductif d'essayer de changer directement le dégoût de quelqu'un pour quelque chose. Peut-être que je parlerais avec lui de ce qu'il aime et est passionné. Si je peux trouver quelque chose de mathématique qui est lié à cette passion, cela pourrait être une ouverture. Je connais, par exemple, des amateurs de poker qui n'ont jamais aimé les mathématiques à l'école, mais qui ont étudié intensément les probabilités de certaines mains de poker et étaient heureux de parler à un mathématicien à propos de la théorie des probabilités appliquée à leur hobby. Je pense que trouver ce genre de connexions et d'applications à des situations réelles peut aider les gens à apprécier l'utilité et la beauté des mathématiques. De plus, leur faire découvrir des puzzles ou des jeux qui impliquent des mathématiques, comme Sudoku ou les échecs, pourrait les aider à développer un intérêt pour la matière.

CultureMath : Quel(s) livre(s) de mathématiques recommanderiez-vous à un lycéen ?

T. Tao : Eh bien, les livres que j'ai lus quand j'étais lycéen ont maintenant au moins 30 ans ; de nos jours, on peut trouver du bon contenu mathématique un peu partout sur internet, par exemple sur Youtube, sur "math Twitter" ou sur des blogs. Pour les élèves qui aiment résoudre des problèmes mathématiques, j'ai moi-même écrit un petit livre sur ce sujet. Pour ceux qui s'intéressent à ce à quoi pourrait ressembler des mathématiques plus avancées, je recommande "Mathematics: a very short introduction" de Gowers.

CultureMath : Avez-vous déjà été déçu de vos recherches ? Comment avez-vous surmonté cette déception ?

T. Tao : Oh, certainement, il y a de nombreux problèmes que j'ai échoué à résoudre. Souvent parce que je n'étais pas conscient des outils appropriés pour résoudre le problème, ou dans certains cas parce que les outils appropriés n'existaient pas encore. Parfois, je retourne à un ancien problème que j'ai abandonné il y a des années avec de nouveaux outils en main et je parviens à contourner les obstacles qui semblaient insurmontables auparavant. Ce sont quelques-uns des moments les plus satisfaisants en mathématiques selon mon expérience.

CultureMath : Quel est votre avis sur les erreurs en mathématiques? Comment gérez-vous cette situation ?

T. Tao : Bill Thurston a écrit un célèbre essai intitulé "On proof and progress in mathematics", dans lequel il souligne que les mathématiques sont au moins autant une question d'intuition et de compréhension que de preuve. Souvent, lorsqu'il y a des erreurs techniques dans une preuve mathématique, les idées sous-jacentes restent valables et la preuve peut être corrigée (ou des preuves alternatives peuvent être trouvées). Ces dernières années, il est également possible d'utiliser des assistants de preuve formelle pour vérifier les preuves avec une plus grande certitude. Ils sont encore relativement difficiles à utiliser pour de nombreux mathématiciens, mais peut-être que grâce à des outils d'IA plus récents, nous pourrons les déployer plus largement qu'actuellement.

CultureMath : Pensez-vous que les assistants de preuve puissent être généralisés à l'enseignement ?

T. Tao  : Je pense que les assistants de preuve peuvent être généralisés à l'enseignement. Il y a des développements intéressants dans cette direction. Il existe maintenant des outils logiciels qui peuvent prendre des résultats formels écrits à l'aide d'un assistant de preuve et les transformer en une preuve interactive sur une page web où chaque étape de haut niveau peut être développée en étapes plus simples en cliquant sur un bouton, allant jusqu'aux axiomes de base des mathématiques si nécessaire. Cela pourrait bien être la façon dont les futurs manuels de mathématiques seront présentés aux étudiants.

CultureMath : Pensez-vous qu'il y ait un avantage à utiliser des assistants de preuve dans le travail collectif ?

T. Tao : Ces assistants permettent des collaborations mathématiques vraiment massives impliquant des centaines de personnes ou plus, car il n'est plus nécessaire pour un modérateur de vérifier manuellement toutes les contributions, en s'appuyant plutôt sur l'assistant de preuve pour valider toutes les contributions. Jusqu'à présent, ce genre de collaboration vérifiée à grande échelle a surtout été limitée au développement de bibliothèques mathématiques formelles ou à la tentative de prouver formellement un théorème existant, mais je pourrais voir cela être utilisé pour tenter de réaliser des recherches originales dans un avenir proche.

CultureMath : Qu'avez-vous aimé dans l'idée du projet Polymath ?

T. Tao : J'ai été attiré par l'idée de crowdsourcing en mathématiques, similaire à la façon dont, par exemple, Wikipedia a rassemblé de nombreuses petites contributions de nombreux éditeurs pour créer une ressource incroyable. Bien que l'un des produits inattendus de ces projets soit qu'ils ont révélé le processus d'essais et d'erreurs désordonné auquel même les meilleurs mathématiciens doivent se livrer pour finalement arriver à un argumentation qui fonctionne. Cela s'est avéré particulièrement éclairant pour les mathématiciens en début de carrière, qui peuvent avoir l'impression, en ne lisant que des articles de recherche soigneusement polis, que les meilleurs mathématiciens ne proposent que des arguments réussis.

CultureMath : Que pensez-vous des grandes questions en mathématiques telles que l'hypothèse du continu et la théorie controversée de Woodin ?

T. Tao : La théorie des ensembles n'est pas vraiment dans mon domaine d'expertise, mais je suis partisan de la vision "multivers" de Joel David Hamkins en théorie des ensembles, dans laquelle il existe plusieurs univers de théorie des ensembles, chacun d'entre eux pouvant obéir à un ensemble différent d'axiomes, similaire à la manière dont il existe plusieurs géométries, dont certaines sont euclidiennes et d'autres non-euclidiennes. Il existe diverses relations entre les univers, mais il n'est pas particulièrement productif de désigner l'un de ces univers comme "l'univers" et d'ignorer tous les autres.

CultureMath : Quel est l'intérêt de faire entrer plus de philosophie dans les mathématiques ? Quelles sont vos passions ?

T. Tao : La philosophie est un sujet quelque peu difficile pour les mathématiciens, car nous sommes habitués à des énoncés qui peuvent être définitivement prouvés ou réfutés par des arguments mathématiques et logiques. En philosophie, il est difficile de réfuter ou d'affirmer complètement une position, car il y a toujours de nouvelles subtilités que l'on peut soulever ou des hypothèses que l'on peut remettre en question. Néanmoins, il est encore important de poser des questions philosophiques sur les fondements mathématiques de temps en temps pour examiner nos croyances sous-jacentes, même si le processus ne converge pas nécessairement vers un consensus établi.

CultureMath : Que pensez-vous des filles et des mathématiques ?

T. Tao : Nous avons actuellement un sérieux problème avec les femmes qui se désenchantent ou se découragent en mathématiques à tous les stades de leur carrière - de l'école primaire à l'université en passant par les post-doctorats et même les professeurs titulaires ; aux niveaux les plus élevés, nous n'avons actuellement qu'une représentation féminine de 10 à 20%. Il existe de nombreux facteurs qui contribuent à cela, tels qu'un manque relatif de modèles féminins, l'attente sociale selon laquelle les femmes ne devraient pas être aussi audacieuses pour poser des questions ou essayer des idées folles, ou le biais implicite ou explicite présent chez les individus ou les institutions. Beaucoup de ces facteurs s'améliorent un peu à mesure que les attitudes et les démographies changent, mais les progrès sont encore très lents et pourraient être plus rapides.