Ni magique ni surnaturel, le calcul mental s'apprend et se pratique dès le plus jeune âge. Dans cet épisode, le Calculmentaliste vous présente une méthode plus rapide pour effectuer le produit de deux nombres à deux chiffres dans un cas particulier…
Règle 3
Pour effectuer le produit de deux nombres à deux chiffres lorsqu'ils sont situés dans la même dizaine et que la somme de leurs unités donne 10 :
- On multiplie le chiffre (commun) des dizaines par l'entier suivant puis par 100,
- On ajoute le produit des unités
Ci-dessous, un exemple en vidéo.
Démonstration:
Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels pris entre $10$ et $99$.
Alors il existe $a$ et $c$ entre $1$ et $9$ ainsi que $b$ et $d$ entre $0$ et $9$ tels que nous puissions écrire:
\[n=\overline{ab}=10\,a+b \qquad m=\overline{cd}=10\,c+d\]
Dans le cadre des contraintes qui sont les nôtres ici, nous avons de plus $a=c$ et $b+d=10$ et il vient alors:
\begin{align*}n\times m&=(10\,a+b)(10\,a+d)\\&=100\,a^2+10\,ad+10\,ab+bd\\&=100\,a^2+10\,a(b+d)+bd\\&=100\,a^2+10\,a\times 10+bd\\&=100\,a^2+100\,a+bd\\ &=100\,a(a+1)+bd\\ \end{align*}
Nous retrouvons bien la règle expliquée plus haut.
Dans le prochain épisode, le Calculmentaliste vous montrera comment utiliser cette règle pour élever rapidement au carré des nombres finissant par 5…
