Un peu de simplicité

Commençons par une situation plus simple : deux cercles. Heureusement, Kupka y a aussi pensé (ci-contre)…

Considérons donc deux cercles \( C \) et \(C'\) du plan, de centres \(O\) et \(O'\) et de rayons \(R\) et \(R'\). On peut déjà tracer la droite \(D=(OO')\). Notons aussi \(d=d(O,O')\) la distance des deux centres.

Si les deux cercles se coupent, on peut nommer \(M\) l’un des deux points communs ; le triangle \(OMO'\) ayant des côtés de longueurs \(R\), \(R'\) et \(d\), l’inégalité triangulaire impose que chacun de ces côtés soit plus petit (au sens large) que la somme des deux autres, ce qui donne : \[ d\leq R+R',\ R\leq d+R'\Leftrightarrow R-R'\leq d,\ R'\leq d+R\Leftrightarrow R'-R\leq d \] ce qu’on peut résumer en : \[(1)\ |R-R'|\leq d\leq R+R' \]

Cet encadrement ne fait que traduire l’inégalité triangulaire pour la distance \(d\) : \[ |d(O,M)-d(M,O')|\leq d(O,O')\leq d(O,M)+d(M,O')\]

Deux, trois … de nombreux cercles

Maintenant que nous savons positionner deux cercles, comment en placer une série et obtenir cet effet « tournoyant » ? Un autre tableau de Kupka va nous mettre sur la piste, avec des cercles beaucoup plus rapprochés et « presque » tangents.

En examinant ce tableau d’assez loin, l’œil « voit » une spirale à laquelle les cercles « collent ». C’est ce que nous allons préciser maintenant : comment créer des cercles qui « collent » à une courbe ?

Nous considérons donc une courbe plane \(\mathcal C\), décrite par un point \(M(s)\) dépendant d’un paramètre \(s\) variant entre 0 et \(L\)1. Le calcul différentiel va maintenant nous permettre de préciser notre questionnement ; dans la suite, nous noterons les vecteurs selon la convention internationale, en gras plutôt qu’avec des flèches. Le premier vecteur à considérer est la « vitesse » \(\frac{\mathrm d\mathbf M}{\mathrm{d}s}\) (qui dirige la tangente à la courbe au point \(M(s)\)), où le point \(M\) apparaît en gras puisque la dérivée d’un point est un vecteur2.

Pour simplifier les choses, nous allons supposer que le vecteur vitesse est unitaire ; en termes imagés, si une fourmi parcourt notre courbe de cette manière, elle avance à chaque instant en faisant 1 centimètre par seconde (si l’unité de temps est la seconde et l’unité de longueur le centimètre). De ce fait, la longueur du morceau de courbe compris entre les points \(M(s_0)\) et \(M(s_1)\) sera exactement \(s_1-s_0\)3.

Notons \(\mathbf{\tau }=\frac{\mathrm d\mathbf M}{\mathrm{d}s}\) le vecteur vitesse (tangent), et \(\mathbf{\nu}(s)\) le vecteur unitaire directement perpendiculaire à \(\mathbf{\tau}(s)\).

Pour aider le lecteur à suivre notre démarche, nous pouvons aussi considérer le cas particulier d’un cercle de rayon \(\rho\), paramétré en affixes par \(z(\theta)=\rho\mathrm e^{\mathrm i\theta},\,\theta\in\mathbb R\) ; la vitesse est en ce cas \(\frac{\mathrm dz}{\mathrm d\theta}=\mathrm iz\), de module \(\rho\) ; l’abscisse curviligne peut alors être choisie comme \(s(\theta)=\rho\theta\), amenant un nouveau paramétrage \(z(s)=\rho\mathrm e^{\mathrm i\frac s\rho}\), amenant \(\mathbf\tau=\frac{\mathrm dz}{\mathrm ds}=\mathrm i\mathrm e^{\mathrm i\theta}\) puis \(\mathbf\nu=\mathrm i\mathbf\tau=-\mathrm e^{\mathrm i\theta}\). Le vecteur normal pointe ici vers le centre du cercle, ce qui est bien … normal !

Le repère orthonormal direct \((M(s),\mathbf{\tau }(s),\mathbf{\nu }(s))\) est appelé le repère de Frenet4 au point \(M(s)\), et il « glisse » le long de la courbe quand \(s\) varie.

Nous allons maintenant chercher les dérivées de ces fonctions vectorielles de \(s\) ; en dérivant le produit scalaire5 exprimant que \(\mathbf{\tau}(s)\) est de longueur 1, nous obtenons : \[ 0=\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\langle \mathbf{\tau}(s)|\mathbf{\tau}(s)\rangle =\langle\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\mathbf{\tau}(s)|\mathbf{\tau}(s)\rangle +\langle\mathbf{\tau}(s)|\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\mathbf{\tau}(s)\rangle =2\langle\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\mathbf{\tau}(s)|\mathbf{\tau}(s)\rangle \]

Ainsi, le vecteur \(\frac{\mathrm d\mathbf{\tau }}{\mathrm{d}s}\) est perpendiculaire à \(\mathbf{\tau }(s)\) et donc colinéaire à \(\mathbf{\nu }(s)\) ; on pose ainsi \(\frac{\mathrm d\mathbf{\tau }}{\mathrm{d}s}=\gamma (s)\mathbf{\nu }(s)\) , le paramètre \(\gamma \) ainsi introduit s’appelant la courbure au point de paramètre \(s\)6. Excepté le cas embarrassant où \(\gamma(s)\) est nul (que nous éliminerons), et compte tenu du fait que \(\frac{\mathrm d\mathbf{\tau}}{\mathrm{d}s}\) est homogène à l’inverse d’une longueur7, nous pouvons poser \(\gamma(s)=\frac 1{R(s)}\) ; \(R(s)\) s’appelle le rayon de courbure au point de paramètre \(s\). En dérivant de même les égalités \(\Vert\mathbf\nu(s)\Vert^2=1\) et \(\langle \mathbf\tau(s)| \mathbf\nu(s)\rangle=0\), on trouve la formule \(\frac{\mathrm d\mathbf{\nu}}{\mathrm ds}=-\gamma(s)\mathbf{\tau}(s) % \quad,\qquad % \frac{\mathrm d^2\mathbf{\tau}}{\mathrm ds^2}=\frac{\mathrm d\gamma }{\mathrm ds}\mathbf{\nu}(s)-\gamma(s)^2\mathbf{\tau}(s) \)

Nous sommes maintenant bien équipés pour chercher un cercle qui « colle » au mieux à la courbe \(\mathcal C\) (comme le fait la tangente, mais avec une meilleure proximité grâce aux choix du centre et du rayon du cercle).

Imaginons donc un cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(\rho\) ; la proximité entre ce cercle et la courbe au point de paramètre \(s_0\) pourra être évaluée au moyen de la quantité \(\delta (s)=d(\Omega,M(s))^2-\rho^2\) pour \(s\) voisin de \(s_0\). Pour commencer, on va faire en sorte que \(\delta (s_0)=0\), amenant \(d(\Omega,M(s_0))=\rho\). On prend ensuite un développement limité de la fonction vectorielle \(\mathbf{\Omega M}(s)\) au voisinage de \(s=s_0\) (formule de Taylor-Young) et on le reporte dans le carré de la norme, développé en produits scalaires : \[ \begin{array}{rcl} \delta (s)&=&\Bigl\Vert\mathbf{\Omega M}(s_0)+(s-s_0)\mathbf{\tau }(s_0)+\frac 1 2(s-s_0)^2\gamma (s_0)\mathbf{\nu }(s_0)+o((s-s_0)^2)\Bigr\Vert^2-\rho^2\\ &=&2(s-s_0)\langle \mathbf{\Omega M}(s_0)|\mathbf{\tau }(s_0)\rangle+ \\ & & \hfill (s-s_0)^2\Bigl[1+ \gamma(s_0)\langle\mathbf{\Omega M}(s_0)|\mathbf{\nu}(s_0)\rangle\Bigr]+o((s-s_0)^2) \end{array} \]

Pour que cette quantité soit la plus petite possible lorsque \(s\) s’approche de \(s_0\), on prend \(\langle \mathbf{\Omega M}(s_0)|\mathbf{\tau}(s_0)\rangle =0\), ce qui revient à placer \(\Omega\) sur la normale à la courbe au point de paramètre \(s_0\), soit \(\mathbf{\Omega M}(s_0) =\lambda\mathbf{\nu}(s_0),\) \(\lambda\) étant un nombre réel restant à déterminer. Enfin, on peut faire en sorte que \(\gamma(s_0)\langle \mathbf{\Omega M}(s_0)|\mathbf{\nu}(s_0)\rangle =-1\), ce qui revient à prendre \(\lambda=\frac {-1}{\gamma(s_0)}\), soit en fin de compte : \(\mathbf{M}(s_0)\mathbf{\Omega}=R(s_0)\mathbf{\nu}(s_0)\).

En d’autres termes, la « bonne » position pour le centre du cercle se trouve en portant une longueur \(|R(s_0)|=\frac {1}{|\gamma(s_0)|}\) sur la normale et dans la direction de \(\mathbf{\nu }(s_0)\) si \(\gamma (s_0)>0\), ou dans la direction contraire sinon. Le point \(\Omega(s_0)\) ainsi défini s’appelle le centre de courbure, tandis que le cercle de centre \(\Omega(s_0)\) et de rayon \(R(s_0)\) s’appelle le cercle de courbure ou cercle osculateur8, tous relatifs au point de \(\mathcal C\) de paramètre \(s_0\).