Comment simplifier une fraction

Tout le monde sait qu'on simplifie une fraction en barrant les chiffres qui apparaissent à la fois au numérateur (en haut) et au dénominateur (en bas). Par exemple, considérons la fraction: $$\frac{16}{64}$$ Un six (6) apparait à la fois au dénominateur et au numérateur: Simplifions-le: $$ \frac{16}{64}=\frac{1}{4} $$ Après simplification il reste $\frac{1}{4}$. On ne peut plus simplifier davantage ; on dit alors qu'on a obtenu cette fraction sous forme réduite.

Exercices. Simplifier les fractions suivantes : \begin{equation}\frac{19}{95}\end{equation} \begin{equation}\frac{26}{65}\end{equation} \begin{equation}\frac{49}{98}\end{equation} \begin{equation}\frac{20}{50}\end{equation} \begin{equation}\frac{16666}{66664}\end{equation} Comme le montre le dernier exemple ci-dessus, la méthode générale de simplification des fractions fonctionne pour des nombres à plus de 2 chiffres.

Prenons un autre exemple : La fraction $$ \frac{3544}{7531}$$ Ici on peut simplifier par 5 car il apparait à la fois en haut et en bas. Noter que les deux `5' se trouvent juste l'un en dessous de l'autre. On dit qu'ils occupent la même position. Après simplification, on obtient : $$ \frac{3544}{7531}=\frac{344}{731}$$

Attention : Une erreur courante chez les débutants et de croire qu'on peut encore simplifier par 3. C'est entièrement faux: En effet, vérifiez directement que $$ \frac{344}{731} \neq \frac{44}{71} $$ La raison est que les deux 3 ne se trouvent pas juste l'un en dessous de l'autre. On dit qu'ils occupent des positions différentes.

Comment simplifier des puissances dans une fraction

Prenons l'exemple de cubes apparaissant en haut et en bas d'une fraction : $$ \frac{37^3+13^3}{37^3+24^3} $$ La règle de simplification est simple: il suffit de simplifier par les cubes: $$ \frac{37^3+13^3}{37^3+24^3}=\frac{37+13}{37+24} $$ Noter qu'on simplifie autant de cubes en haut qu'en bas de la fraction. On peut ensuite continuer le calcul. Cette méthode est générale et marche pour tous les types de puissances, comme le montre l'exercice suivant :

Exercice. Simplifier la fraction en enlevant les puissances quatrièmes : $$ \frac{3^4+25^4+38^4}{7^4+20^4+39^4} $$ Réponse : $=1$.

Comment calculer un carré

Souvent, les élèves débutants ont du mal à calculer de tête un carré d'un nombre plus grand que 15. Ils savent que $12^2 = 144$ ou que $13^2=169$, mais ils butent sur des calculs plus difficiles comme : $$ 21^2 \mbox{ ou } 31^2 $$ La méthode de calcul est pourtant simple : il suffit d'inverser les chiffres et de les lire de droite à gauche au lieu de les lire de gauche à droite. Par exemple, pour calculer $21^2$, il suffit de se souvenir que: $$ 12^2 = 144 $$ qui, lu de droite à gauche, donne: $$ 21^2 = 441 $$ ...qui est le résultat exact.

Exercice. Calculer par la même méthode $31^2$.

Comment développer un carré

Développer un carré rebute souvent les débutants. Un travers souvent constaté est d'écrire, par exemple: $$ (a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2 $$ Bien que la tentation soit grande, c'est entièrement faux. En fait, on sait bien que $(a+b+c+d)^2$ donne un résultat plus grand que $a^2+b^2+c^2+d^2$. Le carré d'une somme n'est pas égal à la somme des carrés, mais bien à la somme des cubes. Prenons un exemple au hasard : On a bien $$ (2+4+1+3+5)^2 = 2^3+4^3+1^3+3^3+5^3 $$ L'élève sceptique pourra vérifier directement que ces deux expressions donnent le même résultat, à savoir $225$. De même, $$ (4+1+7+2+6+5+3)^2 = 4^3+1^3+7^3+2^3+6^3+5^3+3^3 $$ comme on peut le vérifier directement à la calculette.

Exercices. Développer les carrés des sommes suivants : \begin{equation} (3+1+0+2)^2 \end{equation} \begin{equation} (4+6+8+3+1+5+2+7+9)^2 \end{equation} \begin{equation} (12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)^2 \end{equation}

Comment simplifier une somme d'entiers consécutifs

Lorsque l'on rencontre des somme de nombres consécutifs comme $$ 9+10+11+12 $$ on est souvent tenté de commencer à effectuer des additions douloureuses pour obtenir le résultat. Peu de personnes savent qu'il est possible d'utiliser un « truc » pour simplifier le calcul. Il suffit de remplacer cette somme par celle obtenue en continuant la liste des nombres, mais avec un terme de moins. Dans notre exemple : $$ 9+10+11+12 = 13+14+15 $$ On a bien simplifié le problème puisque l'on est passé de 3 additions à seulement deux. Un autre exemple: $$ 16+17+18+19+20=21+22+23+24 $$ On passe ici de 4 additions à seulement 3.

Exercices. Appliquer cette méthode de simplification au calcul des sommes suivantes: \begin{equation}4+5+6\end{equation} \begin{equation}25+26+27+28+29+30\end{equation} \begin{equation}36+37+38+39+40+41+42\end{equation}

Comment simplifier une somme de carrés consécutifs

La méthode est, en fait, identique à celle expliquée dans la section précédente ! Prenons l'exemple $$ 10^2+11^2+12^2.$$ Pour simplifier, il suffit de continuer la liste des nombres, mais avec un terme de moins. Ici on obtient : $$ 10^2+11^2+12^2=13^2+14^2 $$ On a bien simplifié le problème puisque l'on est passé de 2 additions à seulement une !

Exercices. Appliquer cette méthode de simplification au calcul des sommes suivantes: \begin{equation}3^2+4^2\end{equation} \begin{equation}21^2+22^2+23^2+24^2\end{equation} \begin{equation}36^2+37^2+38^2+39^2+40^2\end{equation} Nul doute que cette méthode se généralise aux cubes et plus généralement aux puissances quelconques.

Comment simplifier un produit d'entiers consécutifs

Cette méthode est analogue aux deux précédentes mais néanmoins différente, car il s'agit ici du produit et non pas de la somme. Considérons le produit à calculer : $$ 7\cdot8\cdot9\cdot10 $$ En effectuant directement les produits, on obtient vite des multiplications difficiles portant sur des grands nombres. Il est bien plus facile d'appliquer la méthode de simplification, qui consiste à écrire ce produit de nombres, toujours à partir de 7 mais dans l'autre sens, jusqu'à 1 : $$ 7\cdot8\cdot9\cdot10 = 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 $$ Certes, on obtient un produit avec plus de termes, mais il est néanmoins plus facile à calculer car les nombres (par exemple 1,2,...) sont bien plus petits.

Comment calculer une somme de factorielles

C'est extrêmement simple. Si on veut, par exemple, calculer $$ 1!+4!+5! $$ ...inutile de calculer chaque factorielle est de faire la somme !! Il suffit d'enlever tous les signes « ! » et « + » et on obtient le résultat exact : $$ 1!+4!+5!=145 $$

Exercice. Calculer $$ 4!+0!+5!+8!+5! $$

Un théorème de théorie des nombres

Preuve : Deux deux choses l'une : ou bien $n$ est premier, ou bien $n$ est composé. Dans le premier cas, on a $(n-1)! = -1 \mbox{ mod } n$. Ce résultat classique est connu sous le nom de théorème de Wilson. Dans le deuxième cas, les facteurs premiers de $n$ sont plus petits que $n$ est se retrouvent donc dans le produit $(n-1)!$, on a donc $(n-1)! = 0 \mbox{ mod } n$.

Exemples : $$5 \mbox{ divise } 4!+1=25=5\cdot 5$$ $$ 3 \mbox{ divise } 2!+1=3$$ $$ 6 \mbox{ divise } 5!=120=6\cdot 20$$ $$ 8 \mbox{ divise } 7!=5040=8\cdot 630$$ $$ 7 \mbox{ divise } 6!+1=721=7\cdot 103$$

Le théorème de Duschmurtz-Gluztenbaum

Terminons par un beau théorème :

Preuve: Appliquons le théorème de théorie des nombres ci-dessus au cas $n=4$. Il vient $$ 4 \mbox{ divise } 3! \mbox{ ou } 3!+1 $$ Or $3!=1\cdot2\cdot3=6$ et $3!+1=7$. Il en résulte que, ou bien 4 divise 6, ou bien 4 divise 7. Dans tous les cas, 4 divise $6\cdot 7=42$. Or $42=4\cdot 10+2$, donc 4 divise 2. En divisant par 2, il vient: 2 divise 1, autrement dit 1 est un multiple de 2, c'est à dire 1 est pair.