Si l'on somme les fractions $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, ..., entre elles, jusqu'où peut-on arriver ?
►Pour la classe (sujet de DM) : La divergence de la série harmonique.
Si l'on essaie de faire le calcul à la main ou même à l'aide d'un ordinateur, on peut avoir l'impression que cette somme ne dépassera jamais $10$, par exemple.
Et pourtant... Voici la démonstration de Nicole Oresme que cette somme (plus précisément cette série) tend vers l'infini en image ou plutôt ... en cases !
Nicole Oresme
Nicolas (ou Nicole) Oresme est un personnage qui a marqué son temps. Son savoir et ses inventions touchent de nombreux domaines : théologie, physique, mathématiques, économie.
Conseiller du roi Charles V le Sage, son essai sur les monnaies a permis d’assainir les finances du royaume. On pourrait dire qu’à l’instar de Bertrand Du Guesclin à la guerre, il a été un des artisans de la reconquête du Royaume de France pendant la Guerre de Cent Ans sous le règne de Charles V.
Il a traduit les œuvres d’Aristote en français. D’un point de vue scientifique, dans son ouvrage « Tractatus de configurationibus qualitatum et motum » (Traité sur la configuration des qualités et du mouvement) il a inventé avant Descartes le système des coordonnées pour étudier les variations d’une grandeur (qu’il nomme qualité) en fonction d’une autre. Il se sert de cette innovation pour étudier le mouvement rectiligne uniformément accéléré.
Il fut évêque de Lisieux de 1358 jusqu’à sa mort en 1362. Enterré dans la cathédrale de Lisieux, sa tombe fut détruite pendant la Révolution et ses restes réenterrés dans le choeur.
Pratiquement oublié après sa mort, ses ouvrages ont été peu recopiés. Il faudra attendre la fin des années 1930 pour que son ouvrage « Questiones super geometriam Euclidis » dans lequel figure sa démonstration de la divergence de la série harmonique (cette dénomination n’est pas d’Oresme, elle est plus tardive), soit redécouvert dans les bibliothèques du Vatican et 1961 pour qu’il soit publié. Cette démonstration fut donc oubliée pendant des siècles. Mangoli trouva une autre démonstration en 1650, puis les frères Bernoulli en 1689.
