Des familles de barycentres aux propriétés surprenantes !
Les notions de barypolygone et de suite barypolygonale ont été introduites et développées récemment, dans 1, 2 et 3. Le but de cet article est de faire découvrir ces suites et quelques-unes de leurs propriétés les plus marquantes.
Soit $E$ un espace affine réel de dimension finie quelconque. Soit $p \in \mathbb{N}\backslash \left\{ 0 \right\}$. On considère une famille ordonnée $\mathcal{F}$ de points distincts ${\left( {{A_k}} \right)_{1 \leqslant k \leqslant p}}$ de E et une famille ordonnée $t = {\left( {{t_k}} \right)_{1 \leqslant k \leqslant p}}$ de réels de $\left] {0;1} \right[$.
On appelle « $t$–barypolygone d’ordre 2 » de $\mathcal{F}$ la famille ordonnée de points $\mathcal{B} = {\left( {{B_k}} \right)_{1 \leqslant k \leqslant p}} \; $ dont les éléments sont définis par les conditions barycentriques :
$$ \forall k \in [\![ 1; p-1 ]\!] \hspace{8mm} B_k = \mbox{bar} \left\{ (A_k\; ; \; t_k) \; ; \; (A_{k+1} \; ; \; 1-t_k) \right\} $$
et
$$B_p = \mbox{bar} \left\{ (A_p\; ; \; t_p) \; ; \; (A_{1} \; ; \; 1-t_p) \right\} $$
On appelle alors suite « $t$–barypolygonale d’ordre 2 » de $\mathcal{F}$ la suite $\mathfrak{B} = {\left( {{\mathcal{B}_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}$ de familles ordonnées de points définie par récurrence de la manière suivante :
$$\left\{ {\;\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathcal{B}_0} = F} \\[3mm] {\forall \;n \in N,\;\;\;{\mathcal{B}_{n + 1}}\;\;\mbox{est le t-barypolygone d'ordre 2 de } {\mathcal{B}_n}\;} \end{array}} \right.$$
On qualifie de régulière cette suite $\mathfrak{B}$ si ${t_i} = {t_j}$ pour tout $(i,j)\in [\![ 1; p ]\!] ^2$. On convient alors de noter $t$ la valeur commune des paramètres ${\left( {{t_k}} \right)_{1 \leqslant k \leqslant p}}$. On dit que $\mathfrak{B}$ est irrégulière dans le cas contraire.
Les théorèmes établis dans les articles mentionnés concernent la convergence et la limite des suites barypolygonales d’ordre 2, quelle qu’elles soient. Il s’agit d’abord des deux théorèmes suivants :
Théorème
La suite $\mathfrak{B}$ converge toujours vers
$$G = {\text{bar}}{\left\{ {\left( {{A_k};\frac{1}{{1 - {t_k}}}} \right)} \right\}_{1 \leqslant k \leqslant p}} = {\text{bar}}{\{ {( {{A_k}; \prod_{\begin{array}{*{20}{c}} {1 \leqslant i \leqslant p} \\ {i \ne k} \end{array}} \left( {1 - {t_i}} \right)} }) \}_{1 \leqslant k \leqslant p}}$$
En particulier, elle converge vers le centre de gravité de $\mathcal{F}$ si elle est régulière.
Théorème
Soit ${\left( {{\alpha _k}} \right)_{1 \leqslant k \leqslant p}}$ une famille ordonnée de réels non nuls et de somme distincte de 0. On note $\;G = {\text{bar}}{\left\{ {({A_k};{\alpha _k})} \right\}_{1 \leqslant k \leqslant p}}$ . Alors :
(i) Il n'existe une suite «barypolygonale» d’ordre 2 de $\mathcal{F} $ convergeant vers $G$ que si tous les réels de ${\left( {{\alpha _k}} \right)_{1 \leqslant k \leqslant p}}$ sont de même signe.
(ii) Si tous les réels de ${\left( {{\alpha _k}} \right)_{1 \leqslant k \leqslant p}}$ sont de même signe, il existe une infinité de suites «$t$–barypolygonales» d’ordre 2 de $\mathcal{F} $ convergeant vers $G$. Ce sont les suites déterminées par :
$$\forall k \in [\![ 1 ; p-1 ]\!] , \;\;\; {t_k} = 1 - \frac{\mu }{\alpha _k}$$
où $\mu $ désigne tout réel tel que $0 \lt \left| \mu \right| \lt {\text{Inf}}\;{\left\{ {\left| {{\alpha _k}} \right|} \right\}_{1 \leqslant k \leqslant p}}$ et de même signe que les réels ${\left( {{\alpha _k}} \right)_{1 \leqslant k \leqslant p}}$.
Cette notion de suite barypolygonale d’ordre 2 a été généralisée dans 1 pour concerner non plus seulement les cas de barycentres successifs de paires de points consécutifs de la famille $\mathcal{F}$, mais les cas de groupes de $k \geqslant 2$ points successifs de $\mathcal{F}$ dans la situation où $p \geqslant 3$ : on parle dans ce cas de suite barypolygonale d’ordre $k$. Plus précisément, on considère cette fois une famille ordonnée $t = {\left( {{t_{i,j}}} \right)_{0 \leqslant i \leqslant k - 1\;;\;1 \leqslant j \leqslant p}}$ de réels de $\left] {0;1} \right[ \hspace{3mm}$ vérifiant :
$$\forall \;j \in 1;p,\;\;\;\mathop \sum \limits_{i = 0}^{k - 1} {t_{i,j}} = 1.$$
On appelle alors « $t$-barypolygone d’ordre $k$ » de $\mathcal{F}$ la famille ordonnée de points $\mathcal{B} = {\left( {{B_j}} \right)_{1 \leqslant j \leqslant p}}$ dont les éléments sont définis par les conditions barycentriques (les indices étant considérés modulo $p$) : $\forall \;j \in [\![ 1; p ]\!] ,$
$${B_j} = {\text{bar}}\;\left\{ {({A_{i + j}}\;;{t_{i,j}})\;;0 \leqslant i \leqslant k - 1} \right\} = {\text{bar}}\;\left\{ {({A_i}\;;{t_{i - j\;,\;j}})\;;0 \leqslant i \leqslant k - 1} \right\}.$$
La suite « $t$-barypolygonale » d'ordre $k$ de $\mathcal{F}$ est dans ces conditions la suite $\mathfrak{B} = {\left( {{\mathcal{B}_n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}}$ de familles ordonnées de points définie par récurrence de la manière suivante:
$$\left\{ {\;\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathcal{B}_0} = F} \\[3mm] {\forall \;n \in N,\;\;\;{\mathcal{B}_{n + 1}}\;\mbox{est le t-barypolygone d'ordre k de} \;\;{\mathcal{B}_n}\;}\end{array}} \right.$$
Théorème
Il existe une partie $\Omega $ de l’ensemble des fonctions de $[\![ 1;p - 1]\!]$ dans $[\![1;k - 1 ]\!]$ qui est indépendante de $t$, et telle que la suite $\mathfrak{B}$ converge vers le point :
$$G = \mbox{bar} \left\{ \left( A_j \; ; \; \sum_{f \in \Omega } \prod_{i = 1}^{p - 1} {t_{f (i) , i + j} }\right) \right\}_{1 \leqslant j \leqslant p}$$
Le théorème 1 apparaît comme un cas particulier du précédent : $\Omega $ est alors réduit à la fonction constante égale à 1. Il est de plus possible de trouver une caractérisation exacte de $\Omega $ dans le cas général (qui ne sera pas évoquée ici compte tenu de sa complexité et surtout de la finalité de cet article).
Enfin, la richesse du sujet n’est pas épuisée par ces trois théorèmes : de nouvelles propriétés peu évidentes ont été découvertes fin 2016. Les auteurs du présent article ont en effet aussi démontré que toute suite barypolygonale $\mathfrak{B}$ d’ordre 2 d’une famille $\mathcal{F}$ initialise une certaine suite de suites barypolygonales d’ordre 2 appelée suite des dérivées de $\mathfrak{B}$, qui est telle que la suite des points limites de ces suites dérivées converge dans tous les cas vers le centre de gravité de $\mathcal{F}$. Les définitions et théorèmes concernés sont le sujet de deux articles qui seront publiés en 2018 dans la revue Quadrature 1.
Dessous en téléchargement on trouvera une version étendue dans laquelle les auteurs déclinent leurs idées en de multiples approches de niveaux progressifs. Volontairement l'article est rédigé sous forme de questions qui permettent de s'approprier les suites barypolygonales et d'en apprécier la richesse.
