Nous étudions quelques propriétés arithmétiques et algébriques des valeurs de $\zeta (s)$ aux points entiers $s \in \mathbb{N}$, $s \geqslant 2$, telles que l'irrationalité ou la transcendance. Notamment, nous fournissons une démonstration complète et élémentaire, due à Beukers, du théorème d'Apéry (1978) selon lequel $\zeta(3)$ est irrationnel ; cette démonstration est tout à fait accessible à un étudiant de Licence ou de classes préparatoires1.

Introduction

La fonction $\zeta(s)$ de Riemann est définie, pour les valeurs complexes $s \in \mathbb{ C}$ telles que $Re (s) \gt 1$, par la série :

$$\displaystyle{\zeta(s) =\sum_{n \geqslant 1}\, \frac{1}{n^s}} $$

qui converge absolument, d'après le principe de comparaison d'une somme avec une intégrale. Classiquement, on démontre (voir Section 2) que cette fonction $s \mapsto \zeta(s)$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $\mathbb{C}$ avec un unique pôle au point $s = 1$ qui est simple.

Cette fonction $\zeta(s)$ est en fait très étroitement liée aux propriétés des nombres premiers. Tout d'abord, Euler en a établi une représentation fondamentale sous la forme d'un produit infini :

$$\displaystyle{\zeta(s)=\prod_{p \mbox{ premier}}\,\frac{1}{1-p^{-s}},}$$

qui converge absolument lorsque $\displaystyle{{Re} (s) \gt 1}$. Ensuite, après des décennies d'explorations numériques et de résultats intermédiaires dûs à Legendre, Gauss, Tchebychev et d'autres, Hadamard et de la Vallée Poussin sont parvenus à démontrer le célèbre :

La démonstration repose essentiellement sur le fait que $\zeta(s)$ ne s'annule pas sur la droite ${Re} (s) = 1$. Dans [Zagier 1997], l'auteur élabore une preuve complète et très concise (en trois pages!) de ce théorème en utilisant une simplification essentielle due auparavant à Newmann.

Un des grands problèmes mathématiques encore ouverts actuellement sur la fonction zêta est l'Hypothèse de Riemann : les zéros de la fonction zêta dans la bande critique $\displaystyle{0 \lt {Re} (s) \lt 1}$ seraient tous situés sur la droite critique $\displaystyle{{Re} (s) = \frac{1}{2}}$. Tests numériques et arguments théoriques confirment cette attente. On peut montrer que l'hypothèse de Riemann est équivalente à une estimation fine des oscillations entre $\pi(x)$ et son asymptotique :

$$\displaystyle{ \pi (x) - \int_{2}^{x}\,\frac{{d}t}{\log{t}} = {O} \big( \sqrt{x}\log{x} \big).} $$

Un autre aspect de la recherche sur la fonction zêta porte sur l'étude de l'irrationalité de ses valeurs aux entiers naturels. Or aux entiers pairs $2n$ (avec $n \geq 1$), les valeurs $\zeta(2n)$ sont connues depuis les travaux d'Euler dans les années 1730, ce sont des multiples rationnels de puissances paires de $\pi$ :

$$\displaystyle{ \zeta(2n) \in \pi^{2n}\mathbb{Q} (n\geqslant1),} $$

comme on le redémontrera dans la Section 2 ci-dessous. Lindemann a montré en 1882 que $\pi$ est transcendant, c'est-à-dire qu'il n'existe aucune équation algébrique $x^k + a_{ k-1} x^{ k-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$ à coefficients rationnels $a_j \in \mathbb{Q}$ dont $\pi$ soit racine. Il en découle que les $\zeta(2n)$ sont linéairement indépendants sur $\mathbb{Q}$, donc a fortiori irrationnels.

L'inaccessibilité des zêtas impairs $\zeta ( 2n+1)$, durant plus de deux cents ans, avec les techniques eulériennes de développements en séries ou produits infinis, fait partie des phénomènes les plus intrigants de l'arithmétique. Pour les valeurs de zêta aux entiers impairs, le premier résultat n'a en effet été obtenu qu'en 1978 (voir [Apéry 1979] pour la publication par l’auteur, qui est postérieure aux articles de Beukers, de Van der Poorten et de Cohen).

Toutefois, jusqu'à aujourd'hui, on ne sait démontrer d'aucun autre $\zeta(2n+1)$ (pour $n\geqslant2$) qu'il soit irrationnel! Heureusement, des résultats moins forts, mais d'apparence similaire, ont été établis :

• En 1979, Gutnik a montré dans [Gutnik 1983] que pour tout $q\in\mathbb{Q}$, au moins un des deux nombres suivants est irrationnel :

$$\displaystyle{3\zeta(3)+q\zeta(2)} \, , \, \displaystyle{\zeta(2)+2q\log(2).}$$

• En 1981, Beukers a montré [Beukers 1984] que les deux ensembles suivants contiennent chacun au moins un nombre irrationnel :

$$\displaystyle{\frac{\pi^4}{\zeta(3)}}\, , \,\displaystyle{\frac{7\pi^4\log(2)}{\zeta(3)}-15\pi^2}\, , \,\displaystyle{ \frac{7\pi^6}{3240\zeta(3)}-\zeta(3)}$$

$$\displaystyle{\frac{\zeta(3)}{\pi^2}, \frac{\zeta(3)^2}{\pi^2}-\frac{\pi^4}{360},\zeta(3)\pi^2-30\zeta(5), \frac{\zeta(3)\zeta(5)}{\pi^2}-\frac{\pi^6}{2268}}.$$

• Plus récemment, en 2001, Zudilin a montré dans qu'au moins un nombre parmi $\zeta(5),\zeta(7),\zeta(9),\zeta(11)$ est irrationnel [Zudilin 2004].

Au lieu de considérer chaque $\zeta(2n+1)$ séparéement, il est possible d'en considérer simultanément une collection finie. Voici un théorème datant de 2001 :

Eu égard à ces résultats qui sont considérés comme partiels par les experts, on a la conjecture suivante, bien qu'elle soit complètement hors de portée avec les techniques actuelles :

Généralité sur la fonction $\zeta$ de Riemann

Prolongement analytique de la fonction $\zeta$.

Avant de commencer, signalons au lecteur qu'il trouvera dans [Bost, Biane, Colmez 2002] des informations plus complètes sur les propriétés élémentaires -rappelées ici brièvement- des fonctions $\zeta(s)$ et $\Gamma(s)$. Rappelons que pour ${Re} (s) \gt 1$, la série $\zeta(s)=\sum_{n \geqslant 1}\frac{1}{n^s}$ est bien définie car elle converge absolument, et sa somme définit une fonction holomorphe dans ${Re} (s) \gt 1$. Notre premier objectif est de montrer que cette fonction se prolonge holomorphiquement à $\mathbb{C} \backslash \{1\}$.

On définit la fonction $\Gamma$ d'Euler par :

$$\displaystyle{ \Gamma(s) := \int_0^{+\infty}\,e^{-t}\,t^{s-1}\,{ d}t, }$$

où l'intégrale converge normalement sur tout compact contenu dans le demi-plan ${Re} (s) \gt 0$. Par intégration par parties, on vérifie qu'elle satisfait l'équation fonctionnelle $\Gamma(s+1)=s\,\Gamma(s)$, laquelle permet de prolonger la fonction $\Gamma$ en une fonction méromorphe sur $\mathbb{C}$, qui a pour seuls pôles des entiers négatifs ou nuls.

Preuve.

Pour $t\gt 0$, on a le développement en série géométrique :

$$\displaystyle{ \frac{1}{e^t-1} = \frac{e^{-t}}{1-e^{-t}} = \sum_{n=1}^{+\infty}\, e^{-nt}. }$$

En multipliant le tout par $t^{s-1}$, en intégrant terme à terme, en utilisant : $\displaystyle{ \int_0^{+\infty}e^{-nt}\,t^{s-1}\,{ d}t = n^{-s}\, \Gamma(s), }$ (changement de variable $t\mapsto nt$), on voit que l'identité du lemme découle du théorème de convergence dominée.

Preuve.

Soit $\phi$ une fonction $\displaystyle{C^{\infty}}$ sur $\mathbb{R}_+$, qui vaut 1 sur $[0,1]$ et 0 sur $[2,+\infty[$. On a $f=\phi f+(1-\phi)f$ et donc  : $\displaystyle{ L(f,s) = L(\phi f,s) + L\big((1-\phi)f,s\big). }$

Comme $(1-\phi)f$ est nulle dans un voisinage de 0 et à décroissance rapide à l'infini, le théorème de Morera et le théorème de Fubini permettent de se convaincre que la fonction : $\displaystyle{ s \mapsto L\big((1-\phi)f,s\big) = \int_0^{+\infty}\, (1-\phi(t))\,f(t)\,t^{s-1}\,{d}t }$ définit une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}$.

De plus, puisque $\frac{1}{\Gamma(s)}$ s'annule aux entiers négatifs, on a $L\big( (1-\phi)f,-n \big) = 0$ pour tout entier $n\geqslant0$. Il suffit donc de montrer le résultat pour la fonction $g := \phi f$, laquelle est à support compact.

Par intégration par parties, on obtient, pour ${Re} (s) \gt 1$ : $\displaystyle{ L(g,s) = -L(g',s+1). }$

Cette formule permet alors de prolonger $L(g,s)$ en une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}$ tout entier. De plus, en partant de $L(g,-n)$ et en effectuant $n+1$ telles intégrations par parties, on obtient :

$$\displaystyle{ L(g,-n) = (-1)^{n+1} L\big(g^{(n+1)},1\big) = (-1)^{n+1}\int_0^{+\infty}\, g^{(n+1)}(t)\,{d}t } \displaystyle{= (-1)^n g^{(n)}(0),}$$

d'où le résultat, puisque $f^{(n)}(0)=g^{(n)}(0)$, évidemment. $\square$

Soit maintenant $\displaystyle{f_0(z) := \frac{z}{e^z-1}}$. Pour ${Re}(s)\gt 1$, comme $\Gamma(s)=(s-1)\Gamma(s-1)$, le Lemme 5 donne : $\displaystyle{\zeta(s)=\frac{L(f_0,s-1)}{s-1}}$. En appliquant le Lemme 6 à $f_0$, on obtient alors :

Nombres de Bernoulli et valeurs de la fonction $\zeta$ aux entiers pairs.

Puisque l'on a $e^z-1=z(1+{O}(z))$ au voisinage de $0$, on peut définir les nombres de Bernoulli $(B_n)_{n\geqslant0}$ à travers le développement en série entière (formelle) à l'origine de la fonction $f_0$ introduite plus haut :

$$\displaystyle{ f_0(z) = \frac{z}{e^z-1} = \sum_{n\geqslant0}^{+\infty}\, \frac{B_n}{n!} z^n. }$$

La fonction $\displaystyle{\frac{z}{e^z-1}+\frac{1}{2}\, z}$ étant impaire, on en déduit que $\displaystyle{B_1=-\frac{1}{2}}$ et que $B_{2n+1}=0$ pour tout $n\geqslant1$.

On a $B_n=f_0^{(n)}(0)$, et comme il est clair que chaque dérivéee de $f_0$ est une fonction rationnelle en $z$ et en $e^z$, la valeur de $f_0^{(n)}$ en $0$ est rationnelle. On peut aussi voir d'une autre manière que les nombres $B_n$ sont rationnels en développant complètement la fraction en série entière :

$$\displaystyle{ f_0(z) = \frac{1}{\frac{1}{z}(e^z-1)} = \frac{1}{1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+...} = \sum_{k\geqslant0}\, (-1)^k (\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+...)^k, }$$

et en collectant les termes en $z^n$. Maintenant, une application du Lemme 6 à la fonction $f_0$ donne le :

Voici une belle équation fonctionnelle, découverte par Riemann, à laquelle satisfait la fonction $\zeta$ :

Démonstration.

Supposons que ${Re} (s) \gt 1$. Par le changement de variable $t\mapsto \pi n^2t$, on a :

$$\displaystyle{ \int_0^{+\infty}\, e^{-\pi tn^2}\,t^{\frac{s}{2}}\,{d}t = n^{-s}\,\pi^{-\frac{s}{2}}\, \Gamma({\textstyle{\frac{s}{2}}}). }$$

Si on se souvient maintenant que pour ${Re} (s)\gt 1$, la série $\sum_{n=1}^{+\infty}\, n^{-s}$ est absolument convergente et vaut $\zeta(s)$, alors par sommation sur $n$ on en déduit :

$\begin{eqnarray*} \xi(s) &=& \pi^{-\frac{s}{2}} \Gamma (\frac{s}{2}) \zeta(s)  =& \sum_{n=1}^{+\infty} \int_0^{+\infty}e^{-\pi tn^2}t^{\frac{s}{2}} {d}t \\ & =& \int_0^{+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-\pi tn^2}t^{\frac{s}{2}}{d}t, \end{eqnarray*}$

et cette dernière expression peut être réécrite sous la forme :

$$\displaystyle{ (1)~~ \xi(s) = \frac{1}{2}\int_0^{+\infty}\, \big(\theta(t)-1\big)\, t^{\frac{s}{2}-1}\,\mathrm{d}t, }$$

si on introduit, pour tout réeel $t\gt 0$, la fonction $\theta(t)$ de Poisson définie par :

$$\displaystyle{ \theta(t) := \sum_{n\in\mathbb{Z}}\, e^{-\pi tn^2} = 1 + 2\sum_{n=1}^{+\infty}\, e^{-\pi tn^2}, }$$

série qui est absolument convergente.

Admettons à présent l'équation fonctionnelle suivante1 :

$$\displaystyle{ \theta(t) = {\textstyle{\frac{1}{\sqrt{t}}}}\, \theta({\textstyle{\frac{1}{t}}}). }$$

En poursuivant le calcul interrompu dans l'équation (1), et en découpant l'intégrale $\int_0^{+\infty}=\int_0^1+\int_1^{+\infty}$, on a alors :

$\begin{eqnarray*} \xi(s) &=& \frac{1}{2}\int_0^{+\infty}(\theta(t)-1) t^{\frac{s}{2}-1}{d}t \\ &=& \frac{1}{2}\int_0^{1} \big(\frac{1}{\sqrt{t}} \theta(\frac{1}{t})-1) t^{\frac{s}{2}-1}{d}t + \frac{1}{2}\int_1^{+\infty}(\theta(t)-1)t^{\frac{s}{2}-1}{d}t. \end{eqnarray*}$

On fait ensuite le changement de variable $u=\frac{1}{t}$ dans la première intégrale pour obtenir :

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_0^{1}(\frac{1}{\sqrt{t}} \theta (\frac{1}{t})-1) t^{\frac{s}{2}-1} {d}t &=& -\frac{1}{2}\int_0^{1}t^{\frac{s}{2}-1}{d}t + \frac{1}{2}\int_0^{1} \theta (\frac{1}{t})t^{\frac{s-3}{2}}{d}t \\ &=& -\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\int_1^{+\infty}\theta(u)u^{-\frac{s+1}{2}}{d}u\\ &=& -\frac{1}{s} + \frac{1}{2}\int_1^{+\infty}u^{-\frac{s+1}{2}}{d}u +\frac{1}{2}\int_1^{+\infty}(\theta (u)-1)u^{-\frac{s+1}{2}}{d}u \\  &=& -\frac{1}{s} + \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2}\int_1^{+\infty}(\theta (u)-1)u^{-\frac{s+1}{2}}{d}u.\end{eqnarray*}$$

Si on additionne à cette dernière expression la deuxième intégrale, on obtient pour tout nombre complexe $s$ tel que ${ Re}(s)\gt 1$, l'expression suivante, qui est visiblement invariante par $s\mapsto1-s$ :

$$\displaystyle{ \xi(s) = -\frac{1}{s(1-s)} + \frac{1}{2}\int_1^{+\infty}\frac{(\theta(t)-1)}{t}\, \big(t^{\frac{s}{2}}+t^{\frac{1-s}{2}}\big)\,\mathrm{d}t. }$$

La fonction $\theta(t)-1$ étant une fonction à décroissance rapide à l'infini, en appliquant le théorème de Morera et le théorème de Fubini, on obtient que la fonction $s\mapsto \int_1^{+\infty} \frac{(\theta(t)-1)}{t} \big(t^{\frac{s}{2}} + t^{\frac{1-s}{2}}\big)\,\mathrm{d}t$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$. Par le théorème du prolongement analytique, la formule précédente vaut sur tout le domaine de défininition de $\xi$, ce qui permet de la prolonger en une fonction holomorphe sur $\mathbb{C} \backslash \{0,1\}$. De plus, le membre de droite de cette formule est invariant par $s\mapsto1-s$, donc $\xi$ l'est aussi, ce qui implique que pour tout nombre complexe $s$ différent de $0$ et de $1$, on a bien $\xi(s) = \xi(1-s)$.

De ces deux propositions qui précèdent, on déduit la :

Démonstration.

On applique la Proposition 9 avec $s=2n$ :

(2)π-nΓ(n)ζ(2n)=ξ(2n)=ξ(1-2n)=πn-12Γ(12-n)ζ(1-2n).

Afin de trouver la valeur de $\zeta(2n)$, calculons les trois inconnues restantes de cette équation : $\Gamma(n)$, $\zeta(1-2n)$ et $\Gamma(\frac{1}{2}-n)$. Tout d'abord, on sait que $\Gamma(n)=(n-1)!$.

Ensuite, d'après le Corollaire 5, $\displaystyle{ \zeta(1-2n) = (-1)^{2n-1} \frac{B_{2n}}{2n} = -\frac{B_{2n}}{2n}. }$

Enfin, en appliquant récursivement la relation $\Gamma(s)=(s-1)\,\Gamma(s-1)$, on obtient

$$\begin{eqnarray*} \Gamma(\frac{1}{2}) &=& (-\frac{1}{2})\Gamma({-\frac{1}{2}}) \\ &=& (-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) \Gamma(-\frac{3}{2}) = \cdots \\ &=& (-1)^n\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2^n}\Gamma({\frac{1}{2}}-n) \\ &=& (-1)^n\frac{(2n)!}{4^nn!}\Gamma(\frac{1}{2}-n). \end{eqnarray*}$$

Le fait que $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$ fournit alors $\displaystyle{\Gamma({\frac{1}{2}}-n)=(-1)^n\sqrt{\pi}\frac{4^nn!}{(2n)!}}$. En insérant ces valeurs dans l'équation (2), on trouve $\displaystyle{\zeta(2n)=(-1)^{n-1}\frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}B_{2n}}$.

Puisque les nombres de Bernoulli $B_n$ sont rationnels, on a $\displaystyle{\zeta(2n) \in \pi^{2n}\mathbb{Q}}$: les valeurs de la fonction zêta aux entiers pairs s'expriment en multiples rationnels des puissances de $\pi$}. Par conséquent, la transcendance de $\pi$ (Lindemann 1882) entraîne l'indépendance linéaire sur $\mathbb{Q}$ des $\zeta(2n)$. Inversement, on peut montrer la transcendance de $\pi$ grâce à l'étude des $\zeta(2n)$.

Irrationalité de $\zeta(2)$ et de $\zeta(3)$

Apéry a donné en 1978 la première preuve de l'irrationalité de $\zeta(3)$, mais elle était relativement délicate et les contemporains de son annonce, notamment Van der Poorten, Beukers, Cohen et Reyssat, ont mis quelques mois chacun de leur côté et par des voies différentes en pour compléter tous les détails à leur manière. On expose ici une preuve simplifiée due à Beukers, qui démontre l'irrationalité de $\zeta(3)$ avec des techniques d'intégrales, et aussi celle de $\zeta(2)$ de manière similaire. Commençcons par quelques préliminaires qui seront utilisées pour la démonstration.

• Soit $d_n = { ppcm}\{1,2, \cdots, n\}$ le plus petit multiple commun des $n$ premiers entier positifs. Une estimation sur les exposants de ses facteurs premiers donne : $\displaystyle{ d_n = \prod_{ p\leqslant n ,\, p~premier} p^{[\frac{\log n}{\log p}]} \leqslant \prod_{ p\leqslant n, \, p~premier} p^{\frac{\log n}{\log p}} \\ = \prod_{ p\leqslant n, \, p~premier} n = n^{\pi(n)} = n^{\frac{n}{\log n}+o(1)} = e^{n+o(n)},}$ où on utilise le théorème des nombres premiers : $\pi(n) \sim \frac{n}{\log n}$. Par conséquent, on a $d_n\lt 3^n$ à partir d'un certain rang.
• Les polynômes de Legendre, définis par $P_n(X)=\frac{1}{n!}\frac{{d}^n}{{d}X^n} \big( X^n(1-X)^n \big)$, ont l'expression explicite : $\displaystyle{ P_n(X) = \frac{1}{n!}\frac{{d}^n}{{d}X^n}\sum_{i=0}^n (-1)^i \left(\begin{array}{ c }n \\i \end{array} \right) X^{n+i} = \sum_{i=0}^n (-1)^i \Big[ \left(\begin{array}{ c }n \\i \end{array} \right) - \left(\begin{array}{ c }n+i \\i \end{array} \right) \Big]\,X^i. }$

Par conséquent les $P_n(X)$ sont à coefficients entiers et $\deg(P_n)=n$.

Pour $r$,$s$ des entiers positifs, on introduit les deux intégrales impropres suivantes :

$\begin{eqnarray*} I_{r,s}  := \int_0^1\int_0^1\frac{x^ry^s}{1-xy}{d}x {d}y, ~~~~ J_{r,s}  := \int_0^1\int_0^1-\frac{\log xy}{1-xy} x^ry^s {d}x {d}y. \end{eqnarray*}$

Comme les fonctions dans l'intégrale sont positives, ces deux intégrales ont une valeur bien définie dans $\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$.

Démonstration.

On remarque que les fonctions dans l'intégrale $I_{r,s}$ et $J_{r,s}$ sont toutes positives, ce qui permet de permuter les signes intégrale et somme. En développant donc $\frac{1}{1-xy}=\sum_{i=0}^{+\infty}~ (xy)^i $, le calcul de $I_{r,s}$ et $J_{r,s}$ se ramène à une série d'intégrales qui se calculent aisément. En effet, il est évident que :

$$\displaystyle{ \int_0^1\int_0^1x^py^q~{d}x ~{d}y = \frac{1}{(p+1)(q+1)}, }$$

et aussi grâce à $\log(xy)=\log(x)+\log(y)$ et par intégrations par parties on a :

$$\displaystyle{ \int_0^1\int_0^1-x^py^q\log(xy)~{d}x ~{d}y = \frac{1}{(p+1)^2(q+1)}+\frac{1}{(p+1)(q+1)^2}. }$$

On en déduit donc :

$$\displaystyle{I_{r,s}=\sum_{i=0}^{+\infty}\int_0^1\int_0^1x^{r+i}y^{s+i}~{d}x ~{d}y=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{(r+i+1)(s+i+1)},}$$

$\begin{eqnarray*}J_{r,s} &=& \sum_{i=0}^{+\infty}\int_0^1\int_0^1-\log(xy)x^{r+i}y^{s+i}~{d}x~{d}y \\ &=& \sum_{i=0}^{+\infty}\Big(\frac{1}{(r+i+1)^2(s+i+1)}+\frac{1}{(r+i+1)(s+i+1)^2}\Big). \end{eqnarray*}$

(i) Premier cas : $r\gt s$. En écrivant les termes dans la sommation sous forme de différence, on arrive à simplifier la sommation en une somme finie de termes :

$\begin{eqnarray*} I_{r,s} = \sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{(r+i+1)(s+i+1)} &=& \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{r-s}\Big(\frac{1}{s+i+1}\frac{1}{r+i+1}\Big) \\ &=& \frac{1}{r-s}\Big(\frac{1}{s+1}+\cdots+\frac{1}{r}\Big). \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J_{r,s}
&=& \sum_{i=0}^{+\infty} \Big(\frac{1}{(r+i+1)^2(s+i+1)}+\frac{1}{(r+i+1)(s+i+1)^2}\Big) \\
&=& \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{r-s}\Big(\frac{1}{(r+i+1)(s+i+1)}-\frac{1}{(r+i+1)^2}+ \frac{1}{(s+i+1)^2}-\frac{1}{(r+i+1)(s+i+1)}\Big) \\ 
&=& \frac{1}{r-s}\Big(\frac{1}{(s+1)^2}+\cdots+\frac{1}{r^2}\Big).
\end{eqnarray*}$

Comme $r\gt s$ et puisque $(r-s)|d_r$ et $(s+i)|d_r$ pour $i=1,2,\cdots,r-s$ on en déduit que $I_{r,s}\in \frac{1}{d_r^2}\mathbb{Z}$ et $J_{r,s}\in \frac{1}{d_r^3}\mathbb{Z}$.

(ii) Deuxième cas : $r=s$. Le calcul est simple :

$$\displaystyle{I_{r,r} = \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{(r+i+1)^2} = \sum_{i=r+1}^{+\infty} \frac{1}{i^2}}$$

$$\displaystyle{= \left\{\begin{array}{ccc} \zeta(2) & si & r=0 \\ \zeta(2)-\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}-\cdots-\frac{1}{r^2} & si & r\geqslant1 \end{array} \right.}$$

$$\displaystyle{ J_{r,r} = 2\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{(r+i+1)^3} = 2\sum_{i=r+1}^{+\infty} \frac{1}{i^3}}$$

$$\displaystyle{= \left\{\begin{array}{ccc} 2\zeta(3) & si & r=0 \\ 2\Big(\zeta(3)-\frac{1}{1^3}-\cdots-\frac{1}{r^3}\Big) &si& r\geqslant1. \end{array}\right.}$$

Ceci achève la preuve de la proposition. $\square$

Maintenant, on se servira du critère d'irrationalité suivant1 :

Critère d'irrationalité d'un nombre réel.

Un nombre réel $x \in \mathbb{R}$ est irrationnel si et seulement s'il existe deux suites d'entiers $(a_n)_{n\geqslant 0}$ et $(b_n)_{n\geqslant 0}$ telles que $a_nx+b_n\neq0$ et que $a_nx+b_n \rightarrow 0$.

Dans la suite on utilisera aussi le principe suivant dans l'étude du comportement asymptotique de certaines fonctions :

Principe (ou méthode) du col.

Soient $g$ et $w$ deux fonctions holomorphes sur un ouvert simplement connexe $D$ du plan complexe. Supposons qu'il existe $z_0\in D$ tel que $w'(z_0)=0$ et $w''(z_0)\neq0$. Si L est un chemin inclus dans $D$ le long duquel ${Re}(w(z))$ admet un maximum global en $z_0$, alors on a :

$$\displaystyle{ \Big(\Big|\int_L g(z)e^{nw(z)}\mathrm{d}z\Big|\bigg)^{\frac{1}{n}}{\longrightarrow}e^{{Re(w(z_0))}~~lorsque~~{n\rightarrow\infty}}.}$$

Grâce à ces préliminaires, on peut maintenant établir l'irrationalité de $\zeta(2)$ et de $\zeta(3)$.

Démonstration.

Soit $M_n$ l'intégrale suivante :

$$\displaystyle{ M_n = \int_0^1\int_0^1\frac{(1-y)^nP_n(x)}{1-xy}\mathrm{d}x ~\mathrm{d}y. }$$

Comme $P_n\in \mathbb{Z}[X]$ et puisque $\deg (P_n)=n$, en développant le numérateur de l'intégrande de $M_n$ en monômes de $x$ et $y$, on voit que $M_n$ est une combinaison à coefficients entiers des $I_{r,s}$ avec $n\geqslant r \geqslant s \geqslant0$. D'aprés la Proposition 3.1, il existe donc des entiers $A_n$, $B_n$ tels que :

$\displaystyle{ M_n = \frac{1}{d_n^2}(A_n+B_n\zeta(2)). }$

Puisque $M_n$ est visiblement $\gt 0$, on en déduit :

$$\displaystyle{ 0\lt |A_n+B_n\zeta(2)| = d_n^2|M_n|. }$$

Afin de pouvoir appliquer le critère d'irrationalité énoncé à l'instant, il serait avantageux de montrer que $M_n$ tend suffisamment vite vers $0$ pour que $d_n^2 \, \vert M_n \vert$ tende aussi vers zéro, et tel est le cas, tandis que pour $\zeta (5)$, nulle démonstration analogue n'existe !

En appliquant $n$ intégrations par parties par rapport à $x$, on voit aisément que :

$$\displaystyle{ M_n = (-1)^n\int_0^1\int_0^1\frac{y^n(1-y)^n x^n(1-x)^n}{(1-xy)^{n+1}} \neq 0. }$$

Dans l'intégrande le terme $\displaystyle{\frac{y(1-y)x(1-x)}{1-xy}}$ apparaît à la puissance $n$. D'après le principe du col, il faut rechercher le maximum de la fonction $\displaystyle{(x,y)\mapsto \frac{y(1-y)x(1-x)}{1-xy}}$ définie sur $[0,1]^2 \backslash \{(1,1)\}$. Etudions donc cette fonction de deux variables : on montre d'abord, pour une simple raison de symétrie, que lorsque le produit $xy$ est fixé, le maximum est atteint le long de la médiane $\{ x=y \}$. Pour $0\leqslant x,y \leqslant1$, si on pose $\displaystyle{t=\sqrt{xy}}$, d'où $0\leqslant t\leqslant1$ et $x+y\geqslant2t$, on peut majorer :

$$\displaystyle{ \frac{y(1-y)x(1-x)}{1-xy} = \frac{t^2(1-y-x+t^2)}{1-t^2} \leqslant \frac{t^2(1-2t+t^2)}{1-t^2} = \frac{t^2(1-t)}{1+t}. }$$

On se ramène donc à une fonction à une variable réelle. Par une étude simple de la dérivée, on sait que cette dernière fonction de $t$ prend son maximum $\displaystyle{\Big(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Big)^5}$ en $\displaystyle{t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$. En majorant ainsi la fonction originale de deux variables par son maximum :

$$\displaystyle{ \frac{y(1-y)x(1-x)}{1-xy} \leqslant \Big(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Big)^5, }$$

on déduit aisément l'estimation :

$$\displaystyle{ 0\lt |M_n| \leqslant \Big(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Big)^{5n}\int_0^1\int_0^1\frac{1}{1-xy} ~\mathrm{d}x ~\mathrm{d}y = \Big(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Big)^{5n}\zeta(2). }$$

Grâce à l'inégalité précédente, pour $n$ suffisamment grand tel que $d_n\lt 3^n$ (rappelons que $d_n \sim e^n$), on obtient la majoration souhaitée :

$$\displaystyle{ 0\lt |A_n+B_n\zeta(2)| = d_n^2|M_n| \leqslant d_n^2\Big(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Big)^{5n}\zeta(2) }$$

$$\displaystyle{\lt 9^n\Big(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Big)^{5n}\zeta(2).}$$

Ce dernier majorant tend vers $0$ lorsque $n\rightarrow\infty$. D'après le critère d'irrationalité, le nombre $\zeta(2)$ est donc irrationnel, comme annoncé. $\square$

Pour l'irrationalité de $\zeta(3)$, on suit le même schéma de démonstration, en s'intéressant à une autre intégrale :

Démonstration.

On regarde maintenant l'intégrale suivante :

$$\displaystyle{ N_n = \int_0^1\int_0^1 -P_n(x) P_n(y)\frac{\log(xy)}{1-xy}~\mathrm{d}x \mathrm {d}y. }$$

Le développement de $P_n(x)P_n(y)$ en somme des termes en $x^ry^s$ est à coefficients entiers, avec $0\leqslant r,s\leqslant n$. Donc $N_n$ est la somme des $J_{r,s}$ à coefficients entiers, $0\leqslant r,s\leqslant n$. D'après la Proposition 3.1, il existe des entiers $(C_n)_{n\geqslant0}$, $(D_n)_{n\geqslant0}$ tels que $N_n=\frac{1}{d_n^3}(C_n+D_n\zeta(3))$. On a donc :

$$\displaystyle{ 0\lt |C_n+D_n\zeta(3)| = d_n^3|N_n|. }$$

Comme pour $\zeta(2)$, cherchons à démontrer que $N_n$ tend assez rapidement vers $0$ pour pouvoir utiliser le critère d'irrationalité.

On remarque que $\displaystyle{-\frac{\log(xy)}{1-xy} =\int_0^1\frac{1}{1-(1-xy)z}~\mathrm{d}z}$, ce que l'on applique à l'expression précédente :

$$\displaystyle{ N_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z}~\mathrm{d}x~\mathrm {d}y~\mathrm{d}z. }$$

Maintenant on effectue $n$ intégrations par parties par rapport à $x$, ce qui donne :

$$\displaystyle{ N_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{x^n(1-x)^n y^n z^n P_n(y)}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}~\mathrm{d}x~\mathrm{d}y~\mathrm{d}z. }$$

Par le changement de variable $\displaystyle{z=\frac{1-w}{1-(1-xy)w}}$, on obtient :

$$\displaystyle{ N_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{x^n (1-w)^n P_n(y)}{1-(1-xy)w}\mathrm {d}x~\mathrm{d}y~\mathrm{d}w. }$$

On applique ensuite $n$ intégrations par parties par rapport à y, ce qui donne :

$$\displaystyle{ N_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{x^n(1-x)^n y^n(1-y)^n w^n(1-w)^n}{(1-(1-xy)w)^{n+1}}~\mathrm{d}x~\mathrm{d}y~\mathrm{d}w\neq0. }$$

Le terme $\displaystyle{\frac{x(1-x)y(1-y)w(1-w)}{1-(1-xy)w}}$ apparaît à la puissance $n$ dans l'intégrande. Pour pouvoir appliquer le principe du col, il faut trouver la maximum de cette fonction. Comme pour $\zeta (2)$, on remarque la symétrie par rapport à $x$ et à $y$, et on essaie de se ramener au cas $x=y$. Pour $0\leqslant x,y,w\leqslant1$, si on pose $\displaystyle{t=\sqrt{xy}}$, alors $x+y\geqslant2t$ et l'on peut majorer :

$$\displaystyle{ x(1-x)y(1-y) = t^2(1-x-y+t^2) \leqslant t^2(1-2t+t^2) = t^2(1-t)^2. }$$

De plus, on peut réécrire :

$$\displaystyle{ \frac{w(1-w)}{1-(1-xy)w} = \frac{w(1-w)}{1-(1-t^2)w}. }$$

On fixe provisoirement $t$ et on fait varier $w$. Pour un $t$ donné, cette fonction en $w$ prend son maximum $\displaystyle{ \frac{1}{(1+t)^2}}$ en $\displaystyle{ w=\frac{1}{1+t}}$. En multipliant les inégalités précédentes on obtient :

$$\displaystyle{ \frac{x(1-x)y(1-y)w(1-w)}{1-(1-xy)w} \leqslant \frac{t^2(1-t)^2}{(1+t)^2}. }$$

Cette dernière fonction ne dépend que d'une variable réelle. Grâce à une simple étude de sa dérivée, on vérifie qu'elle prend son maximum $\displaystyle{(\sqrt{2}-1)^4}$ en $t=\sqrt{2}-1$. En majorant donc la fonction originale par son maximum :

$$\displaystyle{ \frac{x(1-x)y(1-y)w(1-w)}{1-(1-xy)w} \leqslant (\sqrt{2}-1)^4, }$$

on obtient aisément l'estimation :

\begin{eqnarray*} 0 \lt |M_n| \leqslant (\sqrt{2}-1)^{4n}\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{1}{1-(1-xy)w}\mathrm {d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}w \\= (\sqrt{2}-1)^{4n}\int_0^1\int_0^1-\frac{\log(xy)}{1-xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 2\zeta(3)(\sqrt{2}-1)^{4n}. \end{eqnarray*}

Grâce à cette dernière inégalité, pour $n$ suffisamment grand tel que $d_n\lt 3^n$, on a la majoration souhaitée :

$$\displaystyle{0\lt |C_n+D_n\zeta(3)| = d_n^3|N_n| \leqslant 2\zeta(3)d_n^3(\sqrt{2}-1)^{4n}}$$

$$\displaystyle{\lt 2\zeta(3) 27^n(\sqrt{2}-1)^{4n}.}$$

Ce dernier terme tend vers $0$ lorsque $n\rightarrow\infty$. D'après le critère d'irrationalité, le nombre $\zeta(3)$ est irrationnel. $\square$

Malheureusement, on n'arrive pas à généraliser directement cette méthode pour démontrer l'irrationalité de $\zeta(5)$, qui reste toujours un mystère, tout comme l'irrationalité des autres $\zeta(2n+1)$. Pourtant, une généralisation est envisageable, car dans l'étude des polylogarithmes, il y a des intégrales qui ressemblent à celles utilisées dans cette section pour la preuve de l'irrationalité de $\zeta(2)$ et de $\zeta(3)$.