Démonstration.

Montrons d'abord le sens direct. Si $\beta$ est rationnel, soit $\displaystyle{\beta=\frac{p_0}{q_0}}$. Alors $\displaystyle{|\beta-\frac{p}{q}|=\frac{|pq_0-qp_0|}{|qq_0|}}$. Si le numérateur est non nul, sa valeur absolue est $\geqslant1$. D'où $\displaystyle{|\beta-\frac{p}{q}|\geqslant\frac{1}{qq_0}}$.

Réciproquement, soit $\beta$ un nombre irrationnel. Soit $n\in\mathbb{N}$. Trouvons un couple $(p,q)\in \mathbb{N}^2$ tel que :

$\displaystyle{ \Big|\beta-\frac{p}{q}\Big| \lt \frac{1}{qn}. }$

Pour $x$ un nombre réel, notons $\{x\}$ la partie fractionnaire de $x$ et $[x]$ la partie entière de $x$, alors $x=\{x\}+[x]$. Considérons la suite $\{\beta\},\{2\beta\},\{3\beta\},\cdots$, qui est à valeurs dans $[0,1[$. Cette suite est injective car $\beta$ est irrationnel. Donc il existe deux entiers distincts $a, b \in \mathbb{N}$, $a \neq b$ tels que $\displaystyle{\big| \{a\beta\}-\{b\beta\} \big|\lt\frac{1}{n}}$. Et alors :

$\displaystyle{ \big| a\beta-b\beta-[a\beta]+[b\beta] \big| = \big| \{a\beta\}-\{b\beta\} \big| \lt \frac{1}{n}. }$

En posant $q=a-b$ et $p=[a\beta]-[b\beta]$ on obtient $|q\beta-p|\lt\frac{1}{n}$, donc le couple $(p,q)$ convient.

Par contraposée, s'il existe $q_0 \in \mathbb{N}$ tel que, pour tout couple $(p,q) \in \mathbb{Z}^2$ avec $\displaystyle{\beta \neq \frac{p}{q}}$, on a $\displaystyle{\big| \beta-\frac{p}{q} \big| \geqslant \frac{1}{qq_0}}$, alors $\beta$ est rationnel. $\square$

On en déduit le critère d'irrationalité :