On rappelle que la fonction $\theta$ est définie pour un réel $t\gt0$ par :

$$\displaystyle{\theta(t) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}~e^{-\pi tn^2}, }$$

série qui est absolument convergente.

On se propose de montrer l'équation fonctionnelle suivante :

Preuve.

Un résultat classique de calcul d'intégrale gaussienne donne, pour $t>0$ et pour $y\in\mathbb{R}$ :

$$\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi tx^2-2i\pi xy} ~\mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{t}}\,e^{-\frac{\pi y^2}{t}}. }$$

Pour la démonstration, on étudie la fonction $z\mapsto f(z)=e^{-\pi t z^2}$ dans le plan complexe, et lorsqu'il s'agit de calculer l'intégrale à gauche on se ramène à intégrer $f$ suivant une droite horizontale orientée de gauche à droite ; le théorème de Cauchy permet alors de montrer que cette intégrale est égale à l'intégrale de $f$ suivant l'axe réel orienté vers la droite, puis on conclut sachant que $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm {d}x=\frac{1}{\sqrt{t}}$.

Posons $\phi(x) := e^{-\pi tx^2}$. La transformée de Fourier de cette fonction vaut :

$$\displaystyle{ \widehat{\phi}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}\,\phi(x)e^{-2i\pi yx}\,{\mathrm d}x = \frac{1}{\sqrt{t}}\,e^{-\frac{\pi y^2}{t}}. }$$

Or $\phi$ est une fonction à décroissance rapide à l'infini, donc la formule sommatoire de Poisson s'applique :

$$\displaystyle{ \sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\phi(n) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\widehat\phi(n), }$$

et cela nous donne :

$$\displaystyle{ \theta(t) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\phi(n) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\widehat\phi(n) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\,\frac{1}{\sqrt{t}}\,e^{-\frac{\pi n^2}{t}} = \frac{1}{\sqrt{t}}\,\theta\Big(\frac{1}{t}\Big), }$$

ce qui achève la preuve. $\square$