Cette définition, qui n'est pas la seule valable, a le bénéfice de rappeler un lot usuel de propriétés utiles.

Rappelons aussi que dans un espace affine on a à la fois la notion de point mais aussi celle de vecteur. De plus le fait d'être euclidien met à disposition un produit scalaire qui permet, entre autres, de définir l'orthogonalité des vecteurs et la distance. On peut donc, dans ce cadre, parler de façon rigoureuse de points, de vecteurs, d'angles droits, évoquer le théorème de Pythagore, etc.

Parmi les propriétés moins connues des carrés, on trouve :

Le carré est, parmi les quadrilatères de même périmètre, celui qui possède la plus grande surface.

Les transformations isométriques laissant un carré globalement invariant sont : les symétries axiales par rapport à une diagonale ou une médiatrice d’un côté ; les rotations autour du centre du carré et dont l'angle est un multiple de l'angle droit, et en particulier la symétrie centrale par rapport au centre du carré.

Et enfin quelques problèmes liés au carré :

• La quadrature du carré est la décomposition de la surface d’un carré plein de côté entier en un nombre fini de carrés pleins de côté entier, tous de taille différente. Plusieurs solutions ont été trouvées au cours du XX^e siècle.
• La conjecture de Toeplitz postule que toute courbe fermée simple contient quatre points distincts aux sommets d’un carré. Elle a été démontrée sous des hypothèses supplémentaires de régularité ou de symétrie sur la courbe, mais résiste dans un cadre général notamment sur certaines courbes fractales.