Dans la définition ci-dessus, on donne d'abord les deux ensembles $E$ et $F$ dont seulement une partie des éléments servent à déterminer la fonction. Il est donc important de préciser $G$, appelé graphe de la fonction, c'est-à-dire l'ensemble des couples de $E\times F$ qui définissent la fonction.

Par exemple, si l'on analyse la fonction usuellement donnée par l'écriture $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$, et la formule $f(x)=x^2$, on dira que le domaine de définition de la fonction est $\mathbb R$ (ce sont les nombres réels avec lesquels on peut appliquer la formule). Le graphe $G$ sera alors constitué des couples $(x ; x^2)$ obtenus lorsque $x$ décrit l'ensemble de définition. Bien sûr ici on obtient une partie stricte de $E \times F = \mathbb R \times \mathbb R$.

Si $f$ est une fonction (donc on sait qui sont $E$, $F$ et $G$ selon la définition), pour un couple $(x;y)\in G$, on dit que $y$ est l'image de $x$ par $f$, et on le note $f(x)$.

Lorsque $E$ et $F$ sont des parties de $\mathbb R$, le graphe d'une fonction peut se représenter comme une partie du plan. Cela conduit aux exercices bien connus : représenter le graphe de la fonction, etc.

Bien sûr cette définition n'est pas la seule possible. Il y en a bien d'autres et cette version a mis longtemps à être façonnée au cours du temps. Elle a pour avantage de pouvoir fixer facilement un cadre pour toutes les fonctions de $E$ dans $F$, et par exemple, une fois ces ensembles donnés, on peut aisément parler de restriction ou de prolongement d'une fonction : il suffit de concevoir deux graphes imbriqués, $G_1\subset G_2$.