Soit $f$ une fonction entre deux espaces métriques $E$ et $F$. On dit que $f$ est uniformément continue si pour tout $\epsilon > 0,$ il existe $ \eta_\epsilon >0$ vérifiant que pour tout $a\in E,\;$ $$B(a,\eta_\epsilon) \subset f^{-1}\left(B(f(a);\epsilon)\right).$$
uniform continuity
Cette définition se comprend mieux en la mettant en parallèle avec une formulation similaire de la continuité (non nécessairement uniforme).
Reprenons d'abord les éléments nécessaires de ce type de définition :
- $f$ est une fonction de $(E,d)$ dans $(F,\delta)$ où $d$ et $\delta$ sont des distances définies respectivement sur $E$ et $F$. On dit alors que $E$ et $F$ sont des espaces métriques.
- $B(a,r)$ dénote une boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$. On a donc, dans $E$ par exemple, $B(a,r)=\{ x\in E \; \mid \; d(a,x) \lt r \}$
- Pour $B\subset F$, $f^{-1}(B)$ désigne l'image réciproque de $B$ par la fonction $f$. Il s'agit donc de l'ensemble des antécédents des points de $B$ par la fonction $f$.
- Ou encore : $$f^{-1}(B)=\{ a\in E \; \mid \; f(a)\in B\}.$$
La continuité de $f$ assure que l'image réciproque de la boule $B(f(a),\epsilon)$ contient une boule centrée en $a$. Mais vous n'en connaissez pas le rayon, et ce rayon peut changer si vous changez de point : l'image réciproque de la boule $B(f(b),\epsilon)$ contient une boule centrée en $b$, mais pas forcément une boule aussi grosse que celle en $a.$
La continuité uniforme est plus forte car, si vous prenez TOUTES les images réciproques des boules de rayon $\epsilon$, alors vous pouvez trouver un rayon $\eta$ tel que chacune de ces images réciproques contient une boule de rayon $\eta.$ C'est de là que vient le mot "uniforme", car le même $\eta$ convient pour tous les points où l'on regarde la continuité.
Quelques remarques :
- L'image réciproque d'une boule n'est pas nécessairement une boule. Dans le cas d'une fonction continue cette image réciproque contient une boule.
- L'image directe d'une boule n'est pas forcément une boule.
- Dans certains cas la continuité est équivalente à la continuité uniforme : Le théorème de Heine, démontré par Eduard Heine en 1872 dit que toute application continue d'un espace métrique compact dans un espace métrique quelconque est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue d'un segment $[a, b]$ dans $\mathbb R$ est uniformément continue.
Où est la définition usuelle d'uniforme continuité ?
Celle-ci : $\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall(x,y)\in E\times E\quad\left[ d(x,y)\le\delta\Rightarrow \delta(f(x),f(y))\le\varepsilon\right].$
Elle est bien sûr équivalente, mais les boules, qui sont au cœur de l'intuition géométrique des espaces métriques, sont bien difficiles à visualiser avec cette définition !