Les mathématiques financières font bon ménage avec les suites géométriques, 1. Voilà pourquoi les programmes scolaires 23 modélisent des situations, certes simplifiées, ayant trait à ce contexte. Après les avoir résumées, nous en élargirons le propos, en quête de l'une des nouvelles trouvailles marketing du moment : le bon d'achat réutilisable.

Lorsqu'on place une somme $\sigma$ sur un livret pendant une certaine durée elle-même fractionnée en périodes, les intérêts, disons au taux constant de $1\%$, sont incorporés au capital pour l'augmenter progressivement et porter à leur tour intérêt 4. Le capital enrichi devient $\sigma\cdot (1 + \frac{1}{100})$ à l'issue de la première période, puis $\sigma\cdot(1 + \frac{1}{100})^2$ à l'issue de la deuxième, etc. On peut raisonner sur un taux $t$, où $t\gt 0$, au lieu de $1\%$. Après $n$ périodes à fructifier, l'épargne s'élève à \[ \sigma\cdot(1+t)^{n}. \] Le procédé diverge ; il tend vers l'infini (c'est une bonne nouvelle).

Inversement, dépensons nos économies, représentant la somme $\sigma$, mais à la manière d'un enfant qui voudrait en prolonger indéfiniment l'usage. On achète d'abord pour la moitié de ce qu'on possède, puis la moitié de ce qui reste, et ainsi de suite 5. On peut raisonner sur des quantièmes $q$, où $0\lt q\lt 1$, au lieu des moitiés. Après $n$ périodes de ce rythme, on a donc fait pour \[ \sigma\cdot(q+q(1-q)+\cdots +q(1-q)^{n-1}) = \sigma\cdot(1-(1-q)^n) \] d'emplettes. Le procédé converge, qui plus est vers $\sigma$ (on s'en serait douté).

Depuis quelques temps, les grandes surfaces ont mis au point une stratégie commerciale redoutable pour vous fidéliser. Vous consommez la somme $\sigma$ et, reconnaissant, l'hypermarché vous offre un bon d'achat du dixième de la valeur : $\frac{\sigma}{10}$. En général, un client s'en tient là car l'opération est à durée limitée ; il gagne ainsi $\frac{\sigma}{10}$ sur son caddie. Mais il est théoriquement possible de recycler les $\frac{\sigma}{10}$ qui partiront à leur tour en cadeau, de $\frac{\sigma}{100}$ cette fois. Et ainsi de suite. Par exemple, avec une mise de $\sigma$ et pour ce même prix, on peut successivement acquérir un luxueux frigidaire (réglé comptant au coût exact de $\sigma$), une armoire à cuillères (offerte mais au coût exact de $\frac{\sigma}{10}$), un cire-godasses (offert mais au coût exact de $\frac{\sigma}{100}$), ainsi que le lot de ratatine-ordures et coupe-friture (offert mais au coût exact et exceptionnel de $\frac{\sigma}{1\,000}$). Tout cela, donc, sans avoir déboursé un sou de plus de ses poches que le premier montant $\sigma$ : on n'arrête pas le progrès 6 ! Plus généralement, en raisonnant sur des quantièmes $q$, où $0\lt q\lt 1$, au lieu de dixièmes, le portefeuille $\sigma$ d'origine se sera démultiplié comme des petits pains, équivalant, après $n$ passages en caisse tout de même, la coquette somme de, devinez quoi Mesdames, Messieurs : \[ \sigma\cdot(1+q+\cdots+q^{n-1})=\sigma\cdot\frac{1-q^n}{1-q}. \] Mais halte aux bonimenteurs des temps modernes : le procédé converge (hélas), vers $\frac{\sigma}{1-q}$. Soit un gain net asymptotique pour le client de $$ \frac{\sigma}{1-q}-\sigma = \frac{q \sigma}{1-q}.$$ Si $q=10\%$, cela fait à peu près $0,111...1\sigma$. Quoi, seulement ? Évidemment, si $q=90\%$, cela ferait $9\sigma$ mais... faut pas rêver !