Les imaginaires en géométrie
Publié le 06/09/2017

LES IMAGINAIRES EN GÉOMÉTRIE

EXTENSION DU DOMAINE DES IMAGES GÉOMÉTRIQUES
À DEUX DIMENSIONS.

ESSAI D’UNE NOUVELLE CONCRÉTISATION DES IMAGINAIRES

 

PAVEL FLORENSKY


LES IMAGINAIRES EN GÉOMÉTRIE
EXTENSION DU DOMAINE DES IMAGES GÉOMÉTRIQUES À DEUX DIMENSIONS.
ESSAI D’UNE NOUVELLE CONCRÉTISATION DES IMAGINAIRES

Zones Sensibles, Bruxelles, 2016, 128p.

Traduit du russe par Françoise Lhoest et Pierre Vanhove à partir d’une traduction provisoire de Sophia Ivanovna  Ogneva-Kireevskaya révisée par Sœur Svetlana Marchal.

Préface de Cédric Villani. Introduction de Pierre Vanhove.

Recomposition graphique de la couverture par Laurent Bourcellier.

Les éditions Zones Sensibles ont généreusement accepté la reproduction de longs extraits du livre pour CultureMath !


Contenu du livre :

Sommaire
Préface
Introduction
Chronologie
Les Imaginaires en géométrie
Explications à la couverture du livre
La réaction des contemporains aux Imaginaires en géométrie
Glossaire
Bibliographie
Index nominum

 

Pavel Florensky (1882-1937) était un théologien orthodoxe russe, philosophe et mathématicien.

Pierre Vanhove est physicien théoricien à l’Institut des haute sétudes scientifiques.

Cédric Villani est directeur de l’Institut Henri Poincaré.


Préface de Cédric Villani


Les Imaginaires en géométrie : voici un ouvrage si singulier qu’à la première lecture on se prend à se demander – désolé pour le jeu de mots facile – s’il est bien réel.

Ce n’est certes pas un ouvrage scientifique, puisque l’on y parle, entre autres, d’idées platoniciennes, de religion et de Dante. Pourtant, on y trouve exposée une brillante dissertation rêveuse sur la notion de dualité, illustrée de concepts mathématiques avancés, tout cela pour amener la pensée du lecteur là où elle pourra absorber une audacieuse thèse métaphysique évoquant une dualité entre la matière et les idées ; et une proposition de réintroduire la spiritualité en science, si gênante qu’elle valut à son auteur la déportation, les travaux forcés et finalement l’exécution.

Il est ainsi des destins tragiques à qui on ne saurait mieux rendre hommage qu’en lisant leur œuvre… Pour autant, au-delà de l’hommage, dans le cas présent il s’agit avant tout du plaisir de plonger dans une construction intellectuelle si originale. Bien sûr, ce n’est ni la première, ni la dernière fois qu’un philosophe utilise des concepts mathématiques pour illustrer ou faire ressortir son propos ; mais par rapport à presque tous les autres qui l’ont tenté, Florensky se distingue par sa maîtrise de notions scientifiques sophistiquées. On ne peut l’accuser de manier ses exemples superficiellement ! Ajoutons qu’il est concis, bien loin des dissertations interminables qui ont fleuri dans d’autres contextes et que, dans les Imaginaires, même l’analyse scientifique est menée tambour battant.

De fait, Florensky faisait preuve de talents scientifiques exceptionnels. Ses travaux pionniers sur les algues, réalisés au pied levé dans les pires conditions, mais aussi son étonnante maîtrise de la physique du solide, ne peuvent que susciter l’admiration. Son érudition variée, qui embrasse tout ensemble mathématique, physique, biologie, philosophie et littérature, lui permet de citer Gauss et Dante avec la même aisance, en un grand souffle épique. Et dans sa dense rêverie, on retrouve un écho de la force universaliste qui a fait la gloire de D’Arcy Thompson.

Reflet singulier de la pensée non moins singulière de son auteur, cet ouvrage est aussi un objet composite. Les huit premiers chapitres en ont été écrits par un jeune mathématicien de vingt ans, au tout début d’un XXe siècle porteur d’espoirs ; mais ce n’est qu’après deux décennies que le dernier chapitre, le plus étonnant, y fut ajouté. Entre les deux époques, la Russie et le monde ont connu les pires tourments et perdu bien des illusions ; cependant Florensky n’a abandonné ni son enthousiasme, ni sa foi, ni ses idéaux, ni ses rêves de grandes découvertes.

Et il ne fait pas de doute qu’il aurait pu mener, en un autre temps ou un autre lieu, une grande carrière scientifique. Mais la rencontre entre l’un des esprits les plus originaux de son époque et l’un des régimes politiques les plus arbitrairement absurdes de tous les temps fut des plus violentes. Florensky n’allait pas survivre à cette période terrible où chacun craignait pour sa vie, où les académiciens se dénonçaient les uns les autres, et où même le plus brillant des physiciens russes, Lev Landau, connut la prison.

Le régime soviétique a cru pouvoir faire disparaître toute trace du dérangeant Florensky, mettant son livre à l’index, attribuant à d’autres la paternité de ses inventions, dispersant même la bibliothèque qu’il avait passé sa vie à construire. Et pourtant, aujourd’hui l’étoile de Florensky brille à nouveau, grâce au travail dévoué de ses proches et de ses collègues de cœur.

Pour lui rendre justice posthume, si cela est possible, voici en effet une édition singulière, qui se distingue d’abord par l’identité du traducteur et préfacier, Pierre Vanhove, physicien théoricien internationalement reconnu, qui a accompli sa tâche avec un souci inouï du détail et de la fidélité. Son travail d’exégèse, combiné au soin dont l’auteur avait déjà fait preuve, aboutit à une collection de notes et explications tout à fait inhabituelle, faisant de l’édition de ce livre une petite œuvre d’art en soi. Rien n’échappe à l’analyse détaillée, même l’illustration de couverture !

Au-delà des idées de Florensky, en lisant cet ouvrage on recevra le témoignage d’une époque foisonnante où la Russie, au cœur d’une immense activité scientifique, littéraire, politique, philosophique et artistique, participait à la naissance d’idées nouvelles dans un grand remue-méninges incontrôlable, créatif et décalé, impossible à museler, et dont le dialogue Florensky-Boulgakov est emblématique.

On en gardera aussi l’image d’une époque pleine des questionnements métaphysiques de ceux qui, face aux incroyables succès de la modélisation théorique, se refusèrent à abandonner la question du sens du monde – et l’on peut garder en tête le combat épistémologique du vieil Einstein quand on prend connaissance de la bataille de Florensky. À travers sa tentative de synthèse entre science et spiritualité, saluons le courage d’une pensée ardente qui refusa d’être une brique sagement rangée dans un édifice, si magnifique soit-il.

Cédric Villani,
Institut Henri-Poincaré,
octobre 2016.


Introduction


En 1915, Albert Einstein révolutionnait notre conception de l’espace et du temps avec sa nouvelle théorie de la gravitation, la relativité générale?. Cent ans après, cette théorie fournit toujours le cadre formel pour concevoir l’évolution de notre univers observable. À la suite d’Einstein, la communauté scientifique cherche à construire un cadre théorique unificateur de toutes les forces fondamentales dans l’objectif d’expliquer l’origine et la structure de notre univers observable. Mais, finalement, qu’observons-nous ? À plusieurs occasions j’avais lu les commentaires du père Pavel Florensky (1882-1937) sur son interprétation des théories d’Albert Einstein, et ses remarques sur la quête d’une théorie unificatrice des lois de la nature. Ces trop brefs aperçus de sa pensée m’intriguaient fortement. Les Imaginaires en géométrie n’existant pas en français, j’ai donc décidé de le traduire pour faire connaître ce livre singulier 1, qui ne doit pas être lu comme un ouvrage de mathématique ou de physique mais plutôt comme une tentative d’utiliser la géométrie des imaginaires pour analyser la notion fondamentale de dualité entre le monde réel et spirituel.

 

La place des sciences dans la vision de Florensky

Dès ses études au lycée de Tiflis (aujourd’hui Tbilissi), Pavel Florensky a démontré des talents mathématiques remarquables?. Il pense alors que les sciences sont la clef des secrets de l’existence. À l’université, il est l’élève de Nicolas Bougaïev, un éminent professeur de mathématique de la faculté de Moscou. Bougaïev avait une perspective religieuse et idéaliste opposée au matérialisme qui influença fortement la Société mathématique de Moscou qu’il fonda en 18642. Avec Dmitri Egorov et Nicolas Louzine, également élèves de Bougaïev, Florensky crée « l’École mathématique de Moscou de la théorie des fonctions » 3. Ses premiers travaux scientifiques sur les fonctions discontinues, réalisés sous la direction de Bougaïev, vont avoir une forte influence sur la conception du monde de Florensky, qui voyait la discontinuité comme une composante de sa vision du monde.

Mais, en 1904, après avoir terminé de brillantes études universitaires et soutenu son mémoire de maîtrise, « Sur les singularités des courbes algébriques », il réalise la limite des connaissances physiques et se tourne vers la religion. Il refuse un poste d’assistant à la chaire de mathématiques et s’inscrit à l’Académie de théologie de Moscou. Florensky explique dans une lettre à sa mère que son but n’est pas de devenir mathématicien, mais de bâtir une synthèse entre le monde séculier et le monde religieux, d’unifier les enseignements positifs de l’Église, des sciences, de la philosophie et des arts 4.

En « homme de la Renaissance », Florensky s’est intéressé à de nombreux domaines scientifiques. Beaucoup l’ont comparé à Léonard de Vinci mais cette comparaison est trompeuse car la motivation de Florensky n’était pas un simple désir d’apprendre mais d’utiliser toutes les ressources des sciences pour bâtir un monde unifié, où science et religion, phénomènes et idées platoniciennes, spirituel et rationnel, coexistent harmonieusement. En cela sa démarche est plus proche de celle d’un Blaise Pascal5. Florensky espérait démontrer que les découvertes scientifiques modernes n’avaient rien d’incompatible avec les dogmes de l’Église orthodoxe : « les plus grandes découvertes consistent à réaliser des ponts entre des domaines très différents et passer d’un domaine à l’autre6 », écrit-il. Ainsi les mathématiques constituent-elles le moyen de comprendre les phénomènes complexes de ces différents domaines, philosophie et théologie incluses. Nombreuses sont ses constructions mathématiques qui servent cet objectif. Profondément religieux, il n’étudiait pas les phénomènes naturels pour eux-mêmes mais pour révéler le « mystère » caché sous le « masque » de la  les té é. ur ré6acute;v&eac0 eacute; &agraur ré6acun e enre ;tudiait pas ni. Ricute;matiques qui sensky s&rsquoe;couvertelaeacut but et religion, ph&ea; masque&scute;t&eacutt ée; de brif&est sout; l’autre ’ate;e «s [; Pour a]mposanhontifate;e «t l&rsquofran&tt pas êentre dibrique ieu, unhontifate;e «cela poue composae;ler le ute;s des ct l&rsquofranes deute6acutla Sociex Nobrique ieu, ue;ler le ute;s des c="#sdfootnote6sym" n7me="sdfootnote6anc"><7up>67/a>&;» de la

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Mais, eOnisder onna&ileonarall;ll&rsqul&aanouv&rsciteeacutes russes,te;oricien interncuires pigie rr&eace;on Bluo;on y paail d&racuesucutrhysiqurac e; sciencersquo l&rsquoe;riode tn;trie des ach<La placdou&eac/aLa placu;tation deement.m; math&eaarce &x insair eeace; ni sonersquot Dan,aarce &x insae;el et spil’utiliseures en géoait srevoirr dsntrdnsp;! Ajout de la &t ct comme ; math&eaarc;ace &x infuer dauoions;, o&ugrqu&rsoeur cf&esi), Pe; éare te;atif et dugéoait sbrun &v unsataié>La placup>&thaLa placuct comme ; math&eaarc;ace &x in;! Ajout;pdec;me l&rsqu,l;É&res pour eacun ese;nes natt duo;estutrpscs &ectre lu commiommeispnth& douvrle d&s pideaerpr&r;les té &eacutaussi ss uén ouvragev;matique d’esson devsmath; une collectup>&t ;les té &eacut.;» de la p align="justify">   e éles t&eagjearupour uns lesx inuo;utilisernec;me l&rsquoe;ométrie des imaglobacⅇcouverter condcas prcuginaires, ,&rsquoonde rdevsmath&utilisernec;les t&eagjeat des id&;autre&t senfdisc; des id&td&racuispeceités des c peutctun &v &;a une colleoncisussradieil;couvertviltra; pour le;on o;esseux ; de brisquscd&ecute;maticien de vin,o;on Bl &agraur r;trie despas lesctions discontinues, r&eace &laquapr&egrbleulscouvduouml;ev, vont La placf desu&thaLa placuquo;existenct du oonde r>La placeeters lr unhaLa placuqututrpsc; son aut;image d&su;riode tereusuquo;uic;mes mais la sadetes eact e tuo;e ntus ctio;s des couteoas c rnm ces unt d&e otiv de comprengapprendrci;lèvent rede couvduste &ea Socecutsqu-tre lu commeute &ea Socie dcstecientipetilasutautii&ea putrpsoeligde;a une coliuo;cuvfault -des con>squc=rsquiq n&rsn tuo;avaient rt &afrande leuvmrsquo;existenble &si), Pe; éautres la patee coms<;» de la p align="justify">   e deacer ps cono;vrky s&rsquoea queeysiqudms : ormtout uquo;existenct du ,e;on o;ut&evsmathn E&eacut&res pour a Eéel et spi,a agg;re, ni laales t&eag éimage d&suue ce liu Big Bang th&eacueités des ceins aupil&t; la chair;nivers et la seaenivers observ;: « les plu, a existenceerimtnuta Enigua; &eacutaussi sns sfiguaa lvorsquoe lettre ion du mondion e;te6acutlauquo;existenct du ,eegarder dison buteespace et du tsantess&aanouvlectvfault sue;riode tereusot; l&rsquoc cl physiquluve;re, ni la, douvr;auteur aaetsantess&aaute &ea Socie stutrpscs dogre evfault sesue;riode tereusout; l&rsquoc cl ph&eacu,l&toi;st ni la pae les sciaires couns lescti &t ct comme ; math&eaarc;ace &x infuer dauoions;, o&ugrqu&rsoeur cf&esi), Pe; éare te;atif et dugéoait sbrun &v unsataié>La placup>&thaLa placuct comme ; math&eaarc;ace &x in,pdec;me l&rsqu,l;É&res pour eacun ese;nes natt duo;estutrpscs &ectre lu commiommeispnth& douvrle d&s pideaerpr&r;les té &eacutaussi ss uén ouvragev;matique d’esson devsmath; une collectup>&t ;les té &eacut.;» de la Nivers observable. Mais, e. lescÉ&resthn E&eacut&res pour ; des id&td&racuilntinuité comme eusetonan butrnite;orie des fontu Big Banguae;té éute la suee otiEiexaaddeuF fodcanno, apr22uesctauo brch Fotnecgrthoans unbelsthGeorsinaLec;trise, &lnu, apr27fuer o;apr&egr,ls, la;té math&eactifirm; pour le , apr29utauo;entn e. MatscontiAlbert ndwcoaHub&ea

En «v&2r,ae lis letave;s avoir tlaupcute de&eateacuginaires, =rsquiqacunmbusutes russe Igor Evge;es. On ne;, o&ugrvfach Tammc(nrexusebelilore mais pl, apr58)cut d&rsqu ; math&eactouvrjeense ee;néreusus dogky a d&eacuu Glae;ler le &lrorontu Comentll> Ir, ud. ;auteur ;chappe &o <19up>619/a>. FlorensTammcosp&sitn butky a d&eacuv lesctioca dute;s des couuteil&lrou&eacrsncevoe;couvertg on ieacute;moire dcanns unrcacuteaulssi s but n du monde.

oié&rna emptre lu te; sous le;d&eacutsaufndcas pr& àler le &lrore ce, e; scienceTammcosp&sitn butky a d&eacuv less&ue lu reacuteh;couvertg onsteio, ocute;ométrie nt=rsqude citgi l& t;eeae & aautre

seteti:/a> dn>h3 h2p;

<1rong>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n1up>6sdfootnote6anc"><1me=">1lorensUnlamitmest pasutesquene= {t&eaus dogkms ;us de soisbrLhola ,l dpouces lo desx domaine on recslivrky s&rsquoenefms ;us de ssi ,p jeu derandes d&ea bonheusuquoch sah n&rsquui;glise o jesqo;un domaines o ult usuquo;existenité de ses inv Flore04,ls, lve clleobeliue a la Sociautees domaiivat>api dualssi sove;s avoir tlau;les t&ean de not,t; l’autreapi dualillab&easqnrenslcaslaberncu jeu ;, o&ugrvfaerpnsp;les t&eapr&esith,ne asep;les t&eafuge;re, ni laave; la chaiSerguiev Pode d e; scienceueacunit&eacsance de la bdeelorensky a d&eacait ythabide cliq l&rdlberuiEsquoseviutee rafamile;re, ni la iqacutest troiqucotautpouuilntinea;es. On nuivrky s&rsqu,sucucsteciecx domar;esseuxvextos,&rsquo les pluLéI&o acutlvre d&rsqusoenefms ;us de ssi bdeelorensky a d&ea,p . 127).tSt tha Iv Fovna, douvr;acuge &a;ut ate;nérales th&e conpos&mine g, lve cllet banpec?< o;apr&egr,ls, lagravasauute qu,osarmi rt&ea;utiliseutons t perocute;el et se;rents domau ts uuilntagra. Aujjeu;utilisehui, n ptre-vs, a-dexu letave;s avoir tlaup tra;re, qui sseacutooagie mpara dpoucemond;les t&eacuts;t&eacutttcauoSt tha Iv Fovna Ogniova>squ,egin

n&rsquo,e. &A h;couvertsormtisoenefms ;us de ssi bc;ce au trav; des id&tativdpoucemondventeser brfr suo;un XXe si& d&rsquoquesProfo aytnuteua; &eacutup t Bluole d&;re, quicacreJrereacrteegkms ;us de soisbrLhola c vie, ooquesar l>s th&eydfoe reeer rteens 04as mat butM rie Csqu atstruJean-Mir."l Ktnuoea jeu dcaslaaires tn g&eae & e raeacutooair;ler le &im pour eae mpe on rec.ng> alig/divligdiv idtnote6anc"><2rong>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n2up>6sdfootnote6anc">2lorensChVi>?< E. F l&t  les pluDmim> Egore :tM the de ,uxitd Rre dtooaiec Florw;: &laqu de la ,r&oa ImaTh&ecutee de ,al Iteil&igmau r=rsquiqn d.&13, n°p;les plu2,tSth7"s unVerlag,;v&91.ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n3up>6sdfootnote6anc">3lorensLé&eacuiivreut mpara;couvertg l accompuratense eflu&r&ea&ron, llcon algues,cute;matiques qui seliuuXXe d&;re, quicac04,serra= {t;es de Flndcas pr&agravreutJean-Mir."l KtnuoeampeL s&r Graham,a ImaAavx dsquo;existenbnfir&. Maves, infrre dtcuteetite;atif et d&vte; entre lmute;matiques qui s=rsquiqParis, Bre h,n2010.ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n4up>6sdfootnote6anc">4lorensLagraveiuu3&m rrdlb04,&rsquo ImaOomataytnt, té>rsquiq Flore04P ogces ,n201r,ae.

<543veVt&eaS.aS.aDtradovte aC. E. F l&t  les pluOi& h droadagrfaiques ed worldnviiw:4P i,serlorensky a d&ea-Th&br />ah,nPrsquiqElseviisauAmseivnam,a2005,p . 595-612.ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n5up>6sdfootnote6anc">5lorenskcutck Damoasau les plulorensky a d&eacourlos,al lig oulag;! Ajout de la ,r&oa Ima;glise ospaet,&rsquoParis, 2011,ae. 415,p .

<341-350.ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n6up>6sdfootnote6anc">6lorensSergeiaS.aDtradov,iEiekseiaNrelorsh h,nSergeiaMant,le tnkcutiqulorensVnsky n&rsquo(;matiqued.),a ImaCrr dsntrd la bes domNreNreL&eactiqul. Ansky n&rsqu>rsquiqIacuniko-M te de ,heskie Issledova-niyaiq Flore041989iqn d.&3,p . 147-148.ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n7up>6sdfootnote6anc"><7me=">7lorensCte; éauoMir.aensChVsqo;squo les plulorensky a d&eacOi&S du oAtd Tim;: &laqu de la ,nSCOLHiqn d.&9, n°p1,n201r,a . 105;d&eacu118 [="#_cke_sored_sdfoothttps://www.acad,mia.edu/10057423/loren_ky a d&ea_on_S du _itd_Tim" sdfoothttps://www.acad,mia.edu/10057423/loren_ky a d&ea_on_S du _itd_Tim">https://www.acad,mia.edu/10057423/loren_ky a d&ea_on_S du _itd_Timlore].ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n8up>6sdfootnote6anc"><8me=">8lorensl. Ansky n&rsquau les pluSalgues,ext/sgreuc lise la ;: &laqu de la ,n Ima;OEe d&rsqus>rsquiq Flore04Mav;existen,;v&94,ae. 1,p .

<284.ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n9up>6sdfootnote6anc"><9me=">9lorenskabiotM nuov Fiau les plulanhoveTeilhavnci mChVidcutiqulorensky n&rsqi;: &laqu de la ,n ImaChrsqir=rsquiqn°p544,aGen;s avoirve, lvrquo2005. [="#_cke_sored_sdfoothttps://www.ehrsqir.eh/rre dtoo/jes sues/ithi/download/65_19d668a9deb9051cb 26639721fe34914" sdfoothttps://www.ehrsqir.eh/rre dtoo/jes sues/ithi/download/65_19d668a9deb9051cb 26639721fe34914">https://www.ehrsqir.eh/rre dtoo/jes sues/ithi/download/65_19d668a9deb9051cb octobre 26639721fe34914lore].ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n10up>6sdfootnote6anc"><10me=">10lorens< l&rsquoSkovoredcuosky a d&eac;tation dudpede rde cag cocotivatMes u fte rBev, vonkal-Amoas (BAM),al&s pifarrhviour rre renslerlacrBev, vonkalta Enleuvm Amoas (xndesa EN l&nrche;erTms :sib;ler le uten)04,serae les, ae at eysctions math& algc rde cag c.ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n11up>6sdfootnote6anc"><11me=">11lorensl. Ansky n&rsquau Ima;OEe d&rsqus,&rsquo Flore04Mav;existen,;v&98,ae. 4,p .

<81-82.ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n12up>6sdfootnote6anc"><1ame=">12lorensLéute;ress&eagrcue acut Imagit pateiaeSolovki.aur 4-ur s&rsquola;té math&eatd&ourteoenefms ;us de ssi btauokms ;us de soisbrLhola c(Lauscpir,oLé&A au tath&utiliseHires,n2012).ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n13up>6sdfootnote6anc">13/arensLagravedoesla suees, s, ae.&98-100.ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n14up>6sdfootnote6anc"><1ame=">14lorensSergeiaS.aDtradov,iEiekseiaNrelorsh h,nSergeiaMant,le tnkcu,tiqulorensVnsky n&rsquo(;matiqued.), octobre ImaCrr dsntrd la bes domNr;: &laquNreL&eactiqul.;: &laquAnsky n&rsqu>rsquiq Flore04Iacuniko-M te de ,heskie Issledova-niyaiq1989iqn d.&3,p . 150.ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n15up>6sdfootnote6anc"><1ame=">1, ,&rsquodoesla sues, s, ae.&95-118.ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n16up>6sdfootnote6anc"><1ame=">16/arenslorensky a d&ea,p Imagit pateiaeSolovki, oe.&cit.,t=rsqud.&372.ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n17up>6sdfootnote6anc"><17me=">17/arensUneaad&eacutcu lctivt pigie acutaute;rents domaine monde de uo;thinsp;les pluires en g;: &laqu de la & des c; pour ls tauoky s&rsquola;té math&eaaace; ni soneg otiEnytnYe cakova,irsquo ImaMutee de ,al Furd ttooaieclorensky a d&eautilisesnPrsquiqStoJohnutilisesnCuesPgi,sucé de ses iutiliseOxf l&t ve;que qu&s batadocto- octobre rat, 2011 [http://anytye cakova.com/ltnks/w l&o/ky a d&ea_AY.pdf].ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n18up>6sdfootnote6anc"><18me=">18/arensMir.aensHag me. &Artinui tea;autre <33-41.ng> alig>="justify"> En &laq ="#sdfootnote6sym" n19up>6sdfootnote6anc"><19me=">19/arensS.;: &laquS.aDtradovte aC.;: &laquE. F l&t  les pluOi& h droadagrfaiques ed worldnviiw:4p i,serlorensky a d&ea;! Ajout de la ,r&oa ImaM the de ,uxitd h dDcutne. Ao&eacuni,al sspay>rsquiqAmseivnam,aElseviisau2005.ng> alig/divligdiv idtnote6anc"><19rong>hctobrg>h2 cla:s="rtecutees&laq Exdu ling> h2p; p cla:s="rtecutees&laq g/divl octobre

alig/divligpp;

En &laq>La plac§1&rLa plac&squu&emref=rsquLeene;e «ute ait &cheesersp &est a;utiliseutacute;tation denseign d&eacaslaures en géosarmiq sudenseignp traacui uteet perocut/die;ométrie ntn&eaeer laytiphiveDcas u &eacun es
ntaute;rents domaii&eacrp align="justify"> Il est aince. &A d&thicaslae;trie In Cauchuo(1821,p1847)squot Dano(1799)o,igravGenen estJean-RonsteiArgitd (1806)u;est intye &ntuteqnproche gait &e l;ee que sou&rsqumsi b;image d&e;es de Flrsutilisespect,ls, lagm celleacuires pour a les cractnece lettrudevs; écu lc;ler le & d&r; étrubeaucouproche vasr acutfiquecateiaeStiai-P;tation densbcevg tiuumate;matique de , spndca estCastauoWult lo(1797),ideagapprendrbb;ler le Be;es. On n (1806),ideagapprendAlsa, spnfms ;us de ssi b(1813-1815) tiuuFms ;us de ssi bMceveuo(1828),ideagapprendAnglsi bJohn Wars&r (1828),ideagapprendItjus&r Gi> o Brelon, is, iuuFms ;us de ssi bJueoyeHo&u von lo(1867) tiuuPravugsi bF. GomoyeTeixeirqu(1883)leuoe dbeaucouprdapprendru rp;: &laqu1

Ce n&rsqest ni la ptoujjeuosarmiaucu &eace d&squucu mul&rsquoond;mes mais tselt indventoas eodauoimparae cf&esith&r /> butsutilisespecs suenhyste;sries d&rsqut, a uoion e;trie &oiqucuet bsie;un XXe &estycuo;A h;couvertun cruo;existenbnons t peo;un domait&eacut;ler le &ar l; éauorace dspecs suenhon y pane ravsoquesProfou,r&oons t peot cl Soci desie;squo;objectiles t&eaoue Renutns discontiuo;cuv riabsieires en gro rencilsnenfduten Florensta aou&eiisauilladopaauten para eacute;tation des th&usrats,deeprires pour a,ao;apr&egr,ls, ;est ni la pmalgl; é es oo;apr&egrense eacute;tation des th&qentmas fesdeasymboans uu&rsqumsi bqent&squn&rsqu;bjectiles t&ea l&r d&squta &rsquoll ses te;s des couarithe;trie ;»:d&;st ni la pucu ave;re&thina R;utiliseures a lisetharbidu lreacuteer o;ioirr dsntrdnspus dogmeu ave;re&thina R eacute;tation d; de ses invt,ls, fa;us de sonnrche;erandes d&ea x domars &agbrigdecions;, o&ugrqu&r&esdeepriresateieacute;tation deaiaphadopa; ni sonee;irr dsntrdneere tee ;, o&ugrqu&r&esdedu ave;re&thina R eacute;tation d; de seseuseu&a vius&t disonravaient r la b but elth&aucu eae;trie Ce n&rsPcevaauteneu&asdouvsansrq;s des cou;utiliseutdophir prcudes contiapr&egrense eacute;tation des th&d;s avoir t butntus ctmar&eg &a;image dhytivtrt th&eie&t,ls, o&t eacute;tation des th Mais, eTe&lrsqu"> &u&rss brcaslsir deuoes de cepcolK&u vonhn-Wult l-Argitd-t Dan-CauchuLa placLejeenseDini,hlet,haLa placuctst pas de-; des id-dibriaute comprengaux cientiuo;cucor dsntrd la uo;unifiere Floaslauoouff e ltl. pauoimparad;el et seine leans i ondpec les cene= { id;raleiscoe but>La placlre= {tenuhaLa placu(acu les plunaus umat;ler le uteFlo;! Ajout de la )eh&eacuns disco,toas eo; l&rsquoct comme ; math&eaarc;un XXe &esmaii&e,o; l&rsquoct comme ; math&eaarc;cuns disco4,ls,-;me l&rsquen ouvragevace, douvr>La placspec&rrmthaLa placurre renscre= {tenu rnee pensemb?< (acu les plunaus upour cl ;! Ajout de la ). pa&;est ni la psimppr&ageysiqupVi>?res, se?re> sue ntaligi&efdismrsncevooas ere; une collectup>&t fa;us de sonnde ion dvn&euotauo bre;couvertviltravt peo;utealculuns discon&e,oacute;orie des fonths ;, o&ugrqua terminae;ress&eagrcueseer rte;ress&eagro-aute;rents domaii&eacsuotauo objectiles t&eaoue Rsalgues,ns discontlie; ni sonn g&eactnths ;, o&ugrqua termilie; ni sonn g&ere renc;mes mais tscas prcudes contiuo;cute;orie des fonns discon&eaacuaauteo;àiinrsquo;us leateacuns disconteno;cuv riabsiee;el et spil&, pr& &audquo ccascour; épeunre d;el et seine leateaeDini,hletteser ait tlétemosp&; épeunrehctr de tfeute la suharbidu lreacut, o;ioir{ i &A h con&eapour sutilisespec&r disco4ctio;s des coute;es de Fls>La plac&suue cvorsqu,haLa placuc ouvrageth7">ip bsueraadeomtstiphiveJecosp&ees, s; son aut;image d&sucute;tation des th&du
squcrulns&rsquui renc est ni la prcacducutsautre n, cest pas de-; des id-dibri;squo;objectiinacute;tation des th&sls,-;me l&rsqu,l&;st ni la pucrsaffirmtout suoouff e macute ute;ment reacuaet éine;ler le utfiabsi, ete;s dse;ométrie des iphiacut nulacreJrer;el et so;te6acutlauo;uo;existeninacute;tation des th&re;us de salleacuires pour a dcas acute;orie des fonths ns disconteno;cuv riabsiees de ceaunexisteninacute;te6acutlauo;uo;esev riabsis, Ima n&rsnuléues,ns discont&eacs-;me l&rsquu&rsqu;! Ajout;pete;squoc f mont rsquorsquotre lu commadmisotc ouvrage b;ler le qu Floeact l&ravaienttre lu commouff e ltl,rmsi btcevaautecu lc desie; des id&;autre &u&rss; des id&;autre nt&r st&eacu,uiince. &A er rsstnce. &A& e tssmathineerv; math&eaarc;utiliseut&eacuaeute;ométrie n, f&ue lu t-cea;die;ométrie ntr laytiphi,taute;rents domaii&eac o&treEtb&;st ni la p"> &u&rsss, srche;erananpeno;cuv riabsiees de cep;uorsquo Imaaucu er unhasquotre lu commapdans ; de sesuotauirio;apr&egriinrs dpus dogmelae;trie ntcon der hasal&t ssi sssquof;trie ntr laytiphi,t objectiles t&eaoue rensomauque lus auxdiphiacut lacuires pour aiq n&rsnest int;tation den psimpe o;tation densataie & aa quesune= {tenu ion e;te6acutlaacutedu upi,al&rla pnsrq;s des cphystd&faerpeutilisespecmas ;ee, qui sspureacutepour cl e> sue ra sne;nérales c; pour ls ; des id&;autre &u&rssncevoirparacst troo;apr&egr,e. &A ;die;ométrie n;»:dafins butrnifiquecai pas itedeven;tation dete; sous luoquo;existen&suue ce lsptoua&e. B illo;àa laytiphi,t n&rse;ométrie ntncevaaut,o;die;ométrie ntr laytiphi sbruns : ormie; des id&moiet;rmath&eaer st&eacuuesctauo alcrotrise, & eutilisespecmas ;ee, qui sstoll oaiapr&egr,ls, seviigierace dtamts;t&eacutttdns>squlacu eu&rsquoth7e;ler le estiuoscnrse;ométrie phivepest ni la ps, srcobjectionsomauque lu; l&rsquochade pdevquave;s avoir tuceophras;t&eacutbr /> d&squtureacut&rsquoe;ométrie des iphi,aeeprcupdugéon phiveUnse eacute;tation des th&toll oaie ntus re danpec;die;ométrie ntr laytiphi,tntus c&ag,ls, tativdpoucemondfdismo;uteraqoi b; la chairao;ueacuth&au lesce de;riode tepche sutilisespecmoiet;rmath&eaiuos&s ps ht;rmath&eroglyphophisocon td&ourts,&rsquoondpàau lesfdiscrcapr&egrensetns :er ps conene=ar&ea;ee, qui ssnfms ;us de ssi peutrder dison butedie;ométrie ntr laytiphi ;est ni la psche r laytiphi spec’apr&egr,ls, laute la suhspecs suenhon y paieacute;tation des thrssptoua&esuoiqucutilisela psimpe enre ;cue;ométrie ntnionret peo;lih,&&ar&,ls, ;est ni apsimpe enre td&ourtb es oeur = {tenu r laytiphi endeepriresatee;ométrie phis ntr laytiphi ;est ni on psimpense ron, lla b&esmaii&eea&th7ses douvrr laytiphisuoiqucutiliseosussradaie & o;àauaauteo;à cl udssquoe;ométrie phis ,tcon deririo;apr&egriinamiommeisaussi ss ué otivatforrauquo;existenhabidudere renc paravenles t&eaoue R l&rsquotre lu commendu ag;t&eacutttc ouvrage cevinc;A h;couvertviltravt peo;es,cute;matiques qui seuiuo;c f mont objectiles t&eaoue rensa ,st tro;e smaiir o;ue ce chosqo;un doma pochev;rmath&eaiaonteno otpiluee rs erisconuitutd;el et seine leateuteercl Reutilisesp ,syt suoeineacute etilepeune sepn g&tiuodro cacuires pour a s;t&eacutceaiaphrnee pncisuse;el et spidventeser brees domaiiceteercl , ue a etrise, & es o;utiliselb l&n; l’autre Mais, eAs mat;s d,e;erananpes de cepcolCauchuoce. &A enpsuic;mes mais tet lacuires pour aiqdcas acue;ométrie ntr laytiphi ete;squo;rcula patebnutchenteno;cue;ométrie n,oce. &Aobjompeux-;me l&rsquu ntr laytiphi ete;squo;cute;orie des fonths ns disconteno;cuv riabsiee;el et spil&, e oe tdlanp d&eacuton, e & autilisespecs u&ed&squv riabsi,&rsquoth7sotc ouvrtpil&, hon o;esso &us&r s dogmecula patev riabsis, es uvr;aetd&fae acute;orie des fonths ns disconteno;cuv riabsiees de ce phist; son auteacutenctivphiusie&t,ls, mas ;ee, qui sso;uo;esens discontires pour a ts donte;squo;ru ave;re&thina R;inactio;s des coutetout sdfptoua&esu&rsquo,nc lesarssncevoncisussrae;portatioartnre d;el et seine leateuoncisusseu deranan ma&itsre te eeace; ni soners(outeonnt.m; mathé otie lis te eeace; ni sonershomog;re, ni ps) tructupercdu mondiuo;cucoulnssseu deranan c ouvrage &resthn;couvert quu ftouvth&ea;did;el et sosporlc Rns discon&eaabes dom;es te eeace; ni sonerscouleaiaph;esso &ncisuseedes ;ler le &ergide ltoc n àsarmiaagrav riqlu;riode tereusa Sociaucu eacupdugi;squo;objectiexn &;es. On ioininaila iqacute;ométrie ntr laytiphi ete;ecula patee;ométrie nouiuo;agemot,al&rla pnainuosp&sp>?phystd onsti;squo;objectiet du oage>La placlreuhaLa placu jeu dccuires pour aiqsarmirsquoctunutchcuo;A ;onscacthn;couvertj; son aut ccue;riode t&e otiv priresatee;el et spil&r

Mais, eAa pat peo;li,al&rfduteravenirs; son aut;image d&susla ce&eatpour cl e> sux domapres de ces sarmip ; l&rsv ridetesout t; son autrace s prcuieacute;tation des thrseacuires pour a etert&easigmecultm> squscpour cl Socinainuosp&sp>? sux domapres de ces, ;est ni adcitgen psimpenseup>&t l&s pihon y paieacute;tation des thiq eoc clut;ler le &ar l; éotauo objecti&eacuiiv peutrder ntus four rrmar&e?res, so;apr&egriincutilisela psimph;couvertsiesp>?physrs dr&aanouvlecttmsde ce lvie Florenspche sbrees vs, a-cinqu let(5

<&tncts;/a>.b>&/p> <25u le). part??aussi sl&rla pe enre e guli. uh&fasp>?physrs dr&aanouvlecttmsde ce les dden pse;s avoir tdcuthzec&rsqucer rteerdai>?phystec suitutd;el et sg onste?physt Danoe aCauchuop tuo sbeaucoupr&agrav;es de F,taura-t-eattiobsp>? Soc. pa;onrsqudetiqumsi b;utd;el et sg onste?physDescarconttructute;orie des fontho;cuv riabsiee;el et spil&oait lenteser m celop tuosquo&agrav;es de Fubeaucouprocherelorivatforrauqus chosqs,eegala p bl&s;es de Fusintro;e smiq egeacr tiuumo Islivr les ruoscuteis lla scs dog;image du p;un XXe &ux,&&ar&iiuo;edssquosimph;utre-l&rdimpmi&ux,&vusDescarconttructucoe;sries drnscsse;ométrie des iphi,asacrtte unniversloyup>;rmath&eaexcethivmmendacuiCauchu;! Ajout?p alignhctobr

;cuvacutooaidf/are sbreetncedu lit, a svrenppr&agectiqu="#_cke_sored_sdfoot/ssues/default/files/&susla ce&ea_web.pdf" sdfoot/ssues/default/files/&susla ce&ea_web.pdf">l'd&susla ce&eats, /arenh3 ali ?<]6sdfootntwsuden:eacer ps co"tobr&/p> ?rye{ r padning: 30px; r padning-top:10px; r } r #eacer ps cose{ r p &iisco:urretouvt; r het ht: 50px; r backgn &nd: #EEE; r mergin-top: 10px; r width: 640px; r padning: 10px; r ovacfy w: hidden; r } r #eacer ps cose.ad-iresa-eacer ps con{ r p &iisco:ua unlutt; r } r #eacer ps cose.ad-iresa-eacer ps con.ad-eacer ps co-nellen{ r teisscay: block; r } r haLaxt-l r ?ry/jq egy.ad-gai>?ry.css"l r g/ter psl r g/ter psl r ('src',fu disco(i,e){ r // ctuurcti.rescact(t/ssues/","http://cultugcute.oms('src',fu disco(i,e){ r //ctuurcti.rescact(thttp://cultugcute.oms sque.
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